1.2 Аппроксимация характеристик фильтров

Активные фильтры состоят из активных элементов - операционных усилителей и пассивных элементов - резисторов и конденсаторов. Катушки индуктивности вследствие их не технологичности и больших потерь в таких фильтрах обычно не применяют. В соответствии с приведенной классификацией активные фильтры -- это аналоговые непрерывные БИХ-фильтры.

Как уже указывалось, в качестве базового фильтра при анализе обычно используют фильтр нижних частот. Идеальный фильтр нижних частот имеет постоянный конечный коэффициент передачи в полосе частот от нуля до частоты среза f_c и равный нулю коэффициент передачи при частотах, лежащих выше частоты среза. Однако идеальный фильтр физически нереализуем: его импульсная характеристика простирается во времени от t =- ? до t = ?.

Передаточные функции активных фильтров представляют собой в общем случае отношение двух операторных полиномов. Аппроксимация характеристик активных фильтров сводится к выбору таких коэффициентов этих полиномов, которые обеспечивают наилучшее в том или ином смысле приближение к желаемой амплитудно-частотной (АЧХ) или фазо-частотной (ФЧХ) характеристике фильтра.

Наиболее широко применяются следующие типы активных фильтров, отличие которых друг от друга обусловлено различным подходом к нахождению наилучшей аппроксимации: фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсный Чебышева, Кауэра (эллиптический), Бесселя.

Фильтр Баттерворта имеет амплитудно-частотную характеристику, квадрат которой определяется простым соотношением:

(1)

где f =f/f_c - относительная частота; f_c - частота среза; n - порядок фильтра.

Все производные функции (1) по частоте f от первой до (2n-1)-й включительно в точке f = 0 равны нулю. Поэтому фильтр Баттерворта называют фильтром с максимально плоской (или максимально гладкой) амплитудно-частотной характеристикой.

Фильтр Чебышева имеет амплитудно-частотную характеристику, которая в полосе пропускания характеризуется пульсациями одинаковой амплитуды, поэтому его часто называют фильтром равноволновых пульсаций. За пределами полосы пропускания амплитудно-частотная характеристика этого фильтра монотонно уменьшается, причем крутизна спада амплитудно-частотная характеристика в этой области у фильтра Чебышева больше, чем у фильтра Баттерворта такого же порядка.

Квадрат амплитудно-частотной характеристики фильтра Чебышева определяется соотношением:

(2)

где Т_n(f) -полином Чебышева первого рода n-го но рядка, е - некоторый постоянный коэффициент, задающий амплитуду пульсаций амплитудно-частотной характеристики.

Полином Чебышева n-го порядка может быть найден па основе рекуррентного соотношения:

Т_n(x)=2xT_n-1(x)-T_n-2(x), (3)

причем

Т_о(х)=1, Т₁(х)=х. (4)

В промежутке -1 < х < 1 значения полинома Чебышева волнообразно изменяются между уровнями - 1 и +1. При этом число полуволн на графике полинома на единицу меньше порядка полинома. При |х|=1 всегда имеем |T_n(x)|=1. При |х|> 1 модуль полинома Чебышева монотонно и неограниченно возрастает.

Инверсный фильтр Чебышева имеет амплитудно-частотную характеристику, которая монотонно изменяется в пределах полосы пропускания и пульсирует в полосе заграждения. Эта амплитудно-частотная характеристика описывается соотношением:

(5)

Фильтр Кауэра (эллиптический фильтр) имеет амплитудно-частотную характеристику, пульсирующую как в полосе пропускания, так и в полосе заграждения. Квадрат амплитудно-частотной характеристики этого фильтра имеет вид:

, (6)

где R_n(f) - рациональная функция, определяемая при четных n соотношением

(7)

где k = n/2. При нечетных n в числитель правой части (7) добавляется множитель x, а k принимается равным (n - 1)/2. Функция R_n(x) обладает следующим свойством:

R_n(1/x)=1/R_n(x).

Параметры х₁, х₂, …Х_k имеют значения больше нуля и меньше единицы и выбираются таким образом, что в промежутке 0 ? x ? x_c (где х_с<1) обеспечиваются равноволновые пульсации функции R_n(x) между нулем и некоторым значением Д. При этом в полосе пропускания квадрат амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра (6) пульсирует между значениями 1 и 1/(1+ е²Д²), а в полосе заграждения - между значениями 0 и 1/(1 + е²/Д²).

Эллиптический фильтр в сравнении со всеми другими типами фильтров имеет наиболее крутой спад амплитудно-частотная характеристика при переходе от полосы пропускания к полосе заграждения.

Фильтр Бесселя отличается от других описанных выше фильтров тем, что имеет хорошую фазо-частотную характеристику. Проходящий через фильтр сигнал не изменит своей формы, если все гармоники сигнала будут задерживаться в фильтре на одно и то же время. Поскольку фазовый сдвиг измеряется в долях периода рассматриваемой гармоники, то постоянство времени задержки равносильно линейной частотной зависимости фазового сдвига сигнала в фильтре.

Фильтр Бесселя обеспечивает наилучшее приближение реальной фазо-частотной характеристики к идеальной линейной зависимости. Зависимость времени запаздывания от частоты для фильтра Бесселя имеет такой же характер, как амплитудно-частотная характеристика для фильтра Баттерворта. Передаточная функция фильтра Бесселя определяется формулой:

(8)

где В_п(p) - полином Бесселя, который может быть найден на основе равенств

В_п (x) = (2n - 1) В_п-1 (х) + х*В_п-2 (х);

В₁(х)=х+1; B₂(x) = x² + 3x + 3. (9)

Соотношение между амплитудно-частотной характеристики различных типов фильтров можно наблюдать на примере амплитудно-частотной характеристики фильтров 4-го порядка, приведенных на рис. 4.

Для фильтров Чебышева, инверсного Чебышева и Кауэра амплитудно-частотная характеристика зависит не только от порядка фильтра, но и от принятых параметров, определяющих пульсации амплитудно-частотной характеристики. В данном случае (рисунок 4) фильтры Чебышева и Кауэра имеют пульсации в полосе пропускания, равные.1 дБ, а в полосе заграждения инверсный фильтр Чебышева и фильтр Кауэра характеризуются колебаниями амплитудно-частотной характеристики в диапазоне от - ? до - 40 дБ.

Сравнивая между собой различные типы фильтров следует иметь ввиду, что фильтры характеризующиеся более круглым спадом амплитудно-частотной характеристики в переходной полосе, имеют обычно большее время установления выходного сигнала при скачкообразном изменении входного.

Рисунок 1.4 - Амплитудо-частотные характеристики фильтров нижних частот 4-го порядка (1 - Баттерворта; 2 - Чебышева; 3- Бесселя; 4 - инверсный Чебышева; 5 - Кауэра).