Анализ сигналов. Метод Фурье и процедура дискретизации

контрольная работа

1.Ряды Фурье

Рассмотрим математические методы анализа сигналов с помощью преобразований Фурье и связь этих методов.

Начнем рассмотрение с Фурье-анализа периодических функций. Пустьf(t) является периодической функцией с периодом ф. Такая функция может быть представлена в виде суммы гармонических слагаемых. Если выбрать такие слагаемые в виде комплексной экспоненциальной формы, то разложение f(t) в ряд Фурье принимает вид:

(1)

где частота щ0 определяется формулой:

а коэффициенты разложения определяются выражением:

(2)

Если f(t) является вещественной функцией, то выполняется условие:

(3)

где звездочка означает «комплексное сопряжение». Для вычисления интегралов (2) было предложено много практических методов. Рассмотрим метод конечных интервалов, так как он тесно связан с решением ряда задач, которые будут рассмотрены ниже. Выберем N эквидистантных точек на интервале [0,ф],соответствующиходномупериоду

,

,

гдеm(целое) = 1, … N,

(4)

В результате такой процедуры дискретизации функции f(t),вместо вычисления интеграла (2) мы приходим к необходимости вычисления дискретной суммы

(5)

Заменяя f(tm) ее рядом Фурье (1), мы получаем

где

(6)

Воспользуемся теперь следующим результатом:

(7)

Первый случай очевиден, тогда как во втором случае мы суммируем серию точек pm2р/N, одинаково распределенных между 0 и 2pр. Итак, ненулевые слагаемые в сумме (6) соответствуют следующим значениям p:

где q целое положительное, отрицательное число или ноль, и следовательно

(8)

Коэффициент, вычисленный с помощью дискретной суммы (5) является суммой коэффициентов Cnс индексами. Кроме того, коэффициенты периодичны по с периодом N. Эти зависимости представляют частный случай более общего результата.

Интересный случай имеет место для вещественной функции, когда верхние гармоники ряда Фурье становятся пренебрежимо малыми выше некоторой определенной границы nM:

(9)

В этом случае мы можем взять

(10)

И найти

если.

(11)

Первые членов дают в точности значения первых коэффициентов Фурье, а высшие просто повторяют эти значениякоэффициентов с периодом (см. рис.1) в верхних частотных полосах.

Делись добром ;)