Анализ сигналов. Метод Фурье и процедура дискретизации
1.Ряды Фурье
Рассмотрим математические методы анализа сигналов с помощью преобразований Фурье и связь этих методов.
Начнем рассмотрение с Фурье-анализа периодических функций. Пустьf(t) является периодической функцией с периодом ф. Такая функция может быть представлена в виде суммы гармонических слагаемых. Если выбрать такие слагаемые в виде комплексной экспоненциальной формы, то разложение f(t) в ряд Фурье принимает вид:
(1) |
где частота щ0 определяется формулой:
а коэффициенты разложения определяются выражением:
(2) |
Если f(t) является вещественной функцией, то выполняется условие:
(3) |
где звездочка означает «комплексное сопряжение». Для вычисления интегралов (2) было предложено много практических методов. Рассмотрим метод конечных интервалов, так как он тесно связан с решением ряда задач, которые будут рассмотрены ниже. Выберем N эквидистантных точек на интервале [0,ф],соответствующиходномупериоду
, |
, |
гдеm(целое) = 1, … N, |
(4) |
В результате такой процедуры дискретизации функции f(t),вместо вычисления интеграла (2) мы приходим к необходимости вычисления дискретной суммы
(5) |
Заменяя f(tm) ее рядом Фурье (1), мы получаем
где |
(6) |
Воспользуемся теперь следующим результатом:
(7) |
Первый случай очевиден, тогда как во втором случае мы суммируем серию точек pm2р/N, одинаково распределенных между 0 и 2pр. Итак, ненулевые слагаемые в сумме (6) соответствуют следующим значениям p:
где q целое положительное, отрицательное число или ноль, и следовательно
(8) |
Коэффициент, вычисленный с помощью дискретной суммы (5) является суммой коэффициентов Cnс индексами. Кроме того, коэффициенты периодичны по с периодом N. Эти зависимости представляют частный случай более общего результата.
Интересный случай имеет место для вещественной функции, когда верхние гармоники ряда Фурье становятся пренебрежимо малыми выше некоторой определенной границы nM:
(9) |
В этом случае мы можем взять
(10) |
И найти
если. |
(11) |
Первые членов дают в точности значения первых коэффициентов Фурье, а высшие просто повторяют эти значениякоэффициентов с периодом (см. рис.1) в верхних частотных полосах.