2.1 Цифровые фильтры

В общем случае в линейном стационарном цифровом фильтре k-й выходной отсчет y(k) (в момент времени t=kД) линейно зависит от k-го входного отсчета x(k) и некоторого количества предшествующих отсчетов x() (<k), а также от некоторого количества выходных отсчетов y() (<k):

Числа L и M в разностном уравнении (1) называют соответственно относительной памятью ЦФ по входу и выходу. ЦФ с памятью по входу называются рекурсивным, а без такой памяти нерекурсивными.

Алгоритмы работы различных ЦФ отличаются параметрами Q и M и набором коэффициентов {a_?} и {bi}. Рассмотрим сначала реализацию нерекурсивных ЦФ, когда все b_i=0 (т.е. М=0).

В этом случае разностное уравнение (1) принимает вид:

Структурная схема ЦФ, реализующая алгоритм (2) приведена на следующем рисунке:

Рисунок 6.

Структурная схема построения нерекурсивного (трансверсального) ЦФ

Основными элементами ЦФ являются блоки задержки отсчетных значений на один тактовый интервал (условно обозначены символом z^-1), а также масштабные блоки aq (усилители). Сигналы с последних собираются в сумматор, образуя входной отсчет. Посредством разностного уравнения (2) можно построить лишь ЦФ с финитной (конечной) импульсной характеристикой {g(0), g(1)…g(Q)}.Если на вход схемы трансверсального типа подать единичный импульс (1,0,0,0,…), то по определению отклик ЦФ есть его импульсная характеристика g(t). Это возможно лишь при условии, что в трансверсальном ЦФ отсчеты импульсной характеристики g(q) совпадают с коэффициентами a?, ?=0,1,2,…Q.

Взяв Z-преобразование от левой и правой частей (2) получаем:

Тогда системная функция трансверсального фильтра будет иметь вид:

Равенство (3) определяет дробно-рациональную функцию от Z. Она имеет L-кратный полюс при Z=0 и L нулей, определяемых корнями полинома числителя формулы (3). Последние зависят от отсчетов импульсной характеристики ЦФ g(?)=a_?. Частотная характеристика трансверсального цифрового фильтр согласно (3) и (1) имеет вид:

Рассмотрим теперь работу ЦФ, работающего по общему алгоритму (1).

x(k)

a₀ a₁ a_q

y(k)

b_M b₁

Структурная схема построения рекурсивного ЦФ

Рисунок 7.

Взяв Z-преобразование от левой и правой частей (1) получим:

Отсюда следует выражение для системной функции цифрового рекурсивного фильтра:

В реализуемых цифровых фильтрах обычно M>Q. При таких условиях дробно-рациональная функция (5) имеет на Z-плоскости: L нулей, определяемых корнями Zoi уравнения:

M-L-кратный ноль в точке Z=0;

М полюсов, определяемых корнями Zni уравнения

Если коэффициенты b? (?=1,M) вещественны, то корни уравнения (6) (т.е полюса H(z)) лежат либо на вещественной оси, либо образуют комплексно сопряженные пары.

Системной функции (5) соответствует частотная характеристика ЦФ:

где R_o,i=e^j??-z_o,i,R_п,i= e^j??- z_o,i

АЧХ фильтра (в децибелах) определяется формулой:

За счет наличия обратной связи рекурсивные ЦФ характеризуются нефинитной (длящейся неограниченно) импульсной характеристикой (откликом на единичный импульс (1,0,0,0,…)).

Система с обратной связью нуждается в исследовании на устойчивость. ЦФ устойчив, если ¦yn¦при n>? не превышает некоторого положительного числа А, независимо от выбора начальных условий в схеме. Чтобы исследовать устойчивость схемы, надо исследовать поведение свободных колебаний, т.е. уравнение (1) при отсутствии внешнего воздействия:

Известно, что отдельное свободное колебание в линейной стационарной системе определяется выражением.

При t=kД, имеем . Обозначив решение уравнения (58) можно искать в виде:

Подставляя (8) в (7) получаем характеристическое уравнение, определяющее л:

При найденных корнях уравнения (9) или (6) лk=zk, k=1,M, общее решение уравнения (7) можно представить в виде:

где ограниченные коэффициенты А1, А2, …Аm определяются начальными условиями.

Для момента времен с номером (k+1) из (10) следует:

Если все полюса системной функции (5) удовлетворяют условию

т.е. они лежат внутри единичного круг с центром в точке z=0, то на основании (10) и (11) можно прийти к заключению, что все свободные колебания во времени определяются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и фильтр будет устойчивым.

Недостатком рассмотренной схемы рекурсивного ЦФ является наличие отдельных элементов задержки для входных и выходных отсчетов.

Это недостаток устранен в так называемой канонической схеме рекурсивного ЦФ, использующего общие элементы задержки для входных и выходных отсчетов, при M=L.

a₀

a₁

a₂

x(k) a_L

b₁

b₂

b_M

Каноническая схема реализации рекурсивного ЦФ

Рисунок 8.

Каноническая схема идентична ранее рассмотренной схеме рекурсивного ЦФ.

Чтобы это доказать, определим системную функцию ЦФ по канонической схеме. Обозначим значения дискретного отсчета в k-й момент времени на выходе первого сумматора через W(k). Согласно схеме, очевидна справедливость уравнения

Дискретный сигнал на выходе второго сумматора в k-й момент времени

Выполним Z-преобразование над правой и левой частями (13-14). Получим:

Приравняв значения W(z) из (15) и (16), имеем

Полученный результат не отличается от (5), что доказывает идентичность полной и канонической схем рекурсивного ЦФ.

Преимуществами цифровых фильтров перед аналоговыми являются:

-высокая точность (точность аналоговых фильтров ограничена допусками на элементы);

-в отличие от аналогового фильтра передаточная функция не зависит от дрейфа характеристик элементов;

-гибкость настройки, лёгкость изменения;

-компактность -- аналоговый фильтр на очень низкую частоту (доли герца, например) потребовал бы чрезвычайно громоздких конденсаторов или индуктивностей.

Недостатки:

Недостатками цифровых фильтров по сравнению с аналоговыми являются:

-трудность работы с высокочастотными сигналами. Полоса частот ограничена частотой Найквиста, равной половине частоты дискретизации

сигнала. Поэтому для высокочастотных сигналов применяют аналоговые фильтры, либо, если на высоких частотах нет полезного сигнала, сначала подавляют высокочастотные составляющие с помощью аналогового фильтра, затем обрабатывают сигнал цифровым фильтром.

-трудность работы в реальном времени -- вычисления должны быть завершены в течение периода дискретизации.

Для большой точности и высокой скорости обработки сигналов требуется не только мощный процессор, но и дополнительное, аппаратное обеспечение в виде высокоточных и быстрых ЦАП и АЦП.