1. Техническое задание

В полой трубе прямоугольного сечения (рис. 1) с идеально проводящими стенками создано монохроматическое электромагнитное поле. Труба заполнена однородной изотропной средой без потерь, абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости равны и соответственно. Известно, что комплексная амплитуда вектора напряжённости электрического поля равна:

, где

, , ,

- частота электромагниных колебаний

- длина волны, распространяющейся в однородной изотропной непроводящей среде с параметрами и ;

- скорость света в этой среде.

Исходные данные:

Рис. 1

2. Пользуясь уравнениями Максвелла, определим комплексные амплитуды составляющих вектора

Введение:

Для изучения электромагнитного поля необходимо, прежде всего, описать его, определив все составляющие векторов электрической и магнитной напряжённостей. Впоследствии мы будем использовать полученные в этом пункте выражения, для того чтобы изучить свойства поля.

Исходя из технического задания, запишем выражения для комплексных амплитуд составляющих вектора , полагая, что множитель единичного вектора является комплексной амплитудой иксовой составляющей , множитель является комплексной амплитудой игрековой составляющей , а множитель является комплексной амплитудой зетовой составляющей . Таким образом, получим:

(1)

(2)

(3)

Воспользуемся вторым уравнением Максвелла в комплексной форме:

, где = [источник 1, стр.33](4)

Найдем [источник 2, стр.16]:

(5)

Выразим комплексную амплитуду вектора из второго уравнения Максвелла:

Спроектируем полученное равенство на оси координат:

(6)

Подставим проекции ротора из формулы (5) в формулы (6):

(7)

Найдём выражения для частных производных составляющих комплексной амплитуды вектора по соответствующим координатам:

Подставим полученные выражения в выражения для составляющих вектора (7):

Упростив вышеследующие выражения, получим итоговые выражения для комплексных амплитуд составляющих вектора : (8)

(9)

(10)

3. Определим диапазон частот, в котором - действительное число, т.е. рассматриваемое поле - бегущая волна

По условию задачи . Значит, будет действительным в случае, если , т.е. при см.

Этому диапазону длин волн соответствует диапазон частот:

,

где Гц.

3 ГГц < 4.14 ГГц < 5.5 ГГц

Если частота волны не принадлежит рассчитанному диапазону частот, то является мнимой величиной. Для этого случая произведем замену: , для учета того факта, при этом ,

4. Выражения для мгновенных значений всех составляющих векторов

Запишем выражения для мгновенных значений составляющих векторов поля и для двух случаев:

а) когда больше критической частоты, найденной в п.3;

б) когда меньше этой частоты.

Для получения выражений для мгновенных значений составляющих векторов поля необходимо помножить их комплексные амплитуды на выражение и выделить действительную часть.

В первом случае выражения для комплексных амплитуд составляющих используются без изменений. Во втором случае необходимо произвести замену, описанную в пункте 2.

Тогда для случая а), используя равенства (1), (2), (3) и (8), (9), (10), получим выражения:

а для случая б) мы вводим описанную в п.3 замену: . Выражения будут иметь вид:

5. Расчет и построение графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координат x, y, z

Построим графики амплитуд составляющих векторов поля в сечении z=z₀ от координаты x при y=0,5b в интервале и от координаты y при x=0,2a в интервале , а также зависимоcти тех же составляющих от координаты z вдоль линии x=0,2a; y=0,2b в интервале на частотах и (см. исходные данные).

Для наглядности построений вычислим соответствующие постоянные множители в выражениях для амплитуд составляющих векторов поля для каждого вида зависимости в отдельности. Для этого подставим соответствующие значения постоянных величин в данные выражения:

1) z=z₀; y=0,5b; ; , полученные выражения нужны для построения графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты x при условии, что рассматриваемое поле - бегущая волна. Используемая нами f лежит в диапазоне частот больше критической, поэтому мы используем выражения из п.4а):

, В/м

, В/м

, В/м

, А/м

0, А/м

, А/м

2) z=z₀; y=0,5b; ; , полученные выражения нужны для построения графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты x при условии, что рассматриваемое поле не является бегущей волной. Используемая нами f лежит в диапазоне частот меньше критической, поэтому мы используем выражения из п.4б):

0, В/м

, В/м

, В/м

, А/м

0, А/м

, А/м

3) z=z₀; x=0,2a; ; , полученные выражения нужны для построения графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты y при условии, что рассматриваемое поле - бегущая волна. Используемая нами f лежит в диапазоне частот больше критической, поэтому мы используем выражения из п.4а):

, В/м

, В/м

, В/м

, А/м

, А/м

, А/м

4) z=z₀; x=0,2a; ; , полученные выражения нужны для построения графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты y при условии, что рассматриваемое поле не является бегущей волной. Используемая нами f лежит в диапазоне частот меньше критической, поэтому мы используем выражения из п.4б):

, В/м

, В/м

, В/м

, А/м

, А/м

, А/м

5) x=0,2a; y=0,2b; ; , полученные выражения нужны для построения графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты z при условии, что рассматриваемое поле - бегущая волна. Используемая нами f лежит в диапазоне частот больше критической, поэтому мы используем выражения из п.4а):

, В/м

, В/м

, В/м

, А/м

, А/м

, А/м

6) x=0,2a; y=0,2b; ; , полученные выражения нужны для построения графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля от координаты z при условии, что рассматриваемое поле не является бегущей волной. Используемая нами f лежит в диапазоне частот меньше критической, поэтому мы используем выражения из п.4б):

, В/м

, В/м

, В/м

, А/м

, А/м

, А/м

В выражениях пп. 1, 3, 5 м, рад/с, z₀=0.114 м, , а в пп. 2, 4, 6 м, рад/с, z₀=0.114 м и Нп/м.

Зависимости, полученные в данном пункте работы, были запрограммированы в математическом пакете MathCad 14, где был проведен поточечный расчет и построение соответствующих графиков, приведенных на рис. 2-13.

Рис. 2 (п. 5.1)

Рис. 3 (п.5.1)

Рис. 4 (п. 5.2)

Рис. 5 (п. 5.2)

Рис. 6 (п. 5.3)

Рис. 7 (п. 5.3)

Рис. 8 (п. 5.4)

Рис. 9 (п. 5.4)

Рис. 10 (п. 5.5)

Рис. 11 (п. 5.5)

Рис. 12 (п. 5.6)

Рис. 13 (п. 5.6)