1.1 Выбор модели исследуемого сигнала

Используемые в настоящее время в радиотехнических системах радиосигналы отличаются большим разнообразием форм и видов. Так, например, в спутниковых и наземных системах навигации, в связи используют сложномодулированные сигналы. Более простые сигналы используют, например, в радиолокации, акустике и медицине. Однако, основой их, несущим сигналом, чаще всего является сигнал гармонического вида. Наличие гармонического сигнала позволяет строить измерительные системы высокой точности, используя для этого один из параметров гармонического сигнала - фазовый сдвиг. Как показано в ряде работ [4,12,23,27], потенциально фазовые системы имеют наименьшую погрешность и способны обеспечить наивысшую точность результата измерения с меньшими энергетическими затратами.

Построение высокоточных измерительных радиотехнических систем, в том числе спутниковых навигационных систем, чаще всего основано на измерении фазового сдвига гармонического несущего сигнала - для получения информации о расстояниях, амплитуды гармонического сигнала - при обнаружении и различении сигналов, скорости изменения фазового сдвига - для оценки подвижности и т.д. Все это говорит об актуальности разработки и исследования новых методов измерения параметров простого гармонического сигнала, способных улучшить характеристики таких систем. Актуально это и для построения собственно измерительной техники - фазометров, вольтметров, калибраторов различного вида и т.д., а также для более простых систем, использующих в качестве информационных параметры сигналов гармонического вида (геодезия, акустика, медицина).

Одним из основных критериев качества радиосистемы является время выдачи ей результата измерения (или другой полезной информации) с момента поступления сигнала на ее вход. Время это зависит, кроме других факторов, и от времени измерения (оценки) параметров несущего гармонического сигнала. Особенно это важно для систем и приборов, использующих достаточно низкочастотные радиосигналы, импульсные сигналы с гармоническим заполнением, а также получающие низкочастотные сигналы в ходе обработки высокочастотных сигналов (например, сигнал, содержащий допплеровский «сдвиг» частоты, в аппаратуре потребителя спутниковых систем навигации).

В связи с этим представляется весьма важным разработка методов оценки параметров именно гармонического сигнала при времени измерения, не ограниченном кратностью периоду, в том числе и меньшем полупериода исследуемого гармонического сигнала. В ряде работ [2,12,15,34-41] сделана попытка рассмотрения отдельных алгоритмов для оценки параметров гармонического сигнала. Однако, отсутствует системный взгляд на данную задачу, не получены алгоритмы для самых основных мешающих воздействий, встречающихся на практике, не исследованы статистические свойства таких алгоритмов.

Основываясь на вышесказанном, в качестве базовой модели исследуемого сигнала при решении поставленной задачи необходимо взять сигнал вида:

, (1.1)

где - полезный сигнал, параметры которого используются для проведения измерений или получения другой информации; - белый шум, присутствующее совместно с полезным сигналом мешающее воздействие, устранить которое принципиально невозможно в современных системах; , и - амплитуда, частота и фазовый сдвиг исследуемого полезного гармонического сигнала.

Выбор в качестве шумового мешающего воздействия белого шума объясняется его реальным присутствием в радиосистемах и приборах и его базовым характером, то есть, зная поведение измерителя при воздействии белого шума, можно достаточно легко предсказать изменение характеристик при воздействии шума с «небелыми» свойствами.

Для сигнала (1.1) теоретически возможно получение алгоритмов оценок любого параметра или сочетания параметров с использованием различных критериев. Однако наибольший интерес представляют алгоритмы оценки фазового сдвига и амплитуды в условиях некратности времени измерения периоду сигнала. При этом, естественно полагать, частоту сигнала априорно известной. Для большинства систем это приемлемое условие так как, как правило, системы строятся на заранее известном частотном диапазоне.

Хотя вопрос оценки частоты сигнала, безусловно, очень интересен и актуален, особенно за короткие интервалы времени. В [15,18] и ряде других работ предложены алгоритмы оценок частоты в условиях априорной известности некоторого интервала ее нахождения. С точки зрения разработки высокоточных измерительных систем и приборов без знания частоты сигнала проводить измерения практически невозможно, поэтому при получении дальнейших результатов полагается частота сигнала известной или определенной каким-либо известным способом до применения разработанных в главе 2 алгоритмов оценок параметров сигнал.

В данной диссертационной работе применены обозначения параметров сигнала - с индексом «0» для истинного значения параметра исследуемого сигнала, без индекса - для априорно неизвестного параметра, со значком «^» - для оценки неизвестного параметра исследуемого сигнала.

В качестве дополнительных моделей исследуемого сигнала используются гармонические сигналы вида (1.1) с дополнительными мешающими воздействиями: постоянной составляющей и (или) -ой гармоникой. Тогда такие модели сигналов можно представить как:

, (1.2)

где - постоянная составляющая исследуемого сигнала,

, (1.3)

где - амплитуда и фазовый сдвиг -ой гармоники исследуемого сигнала, и

.(1.4)

Наиболее часто из-за ряда преимуществ (эффективности и несмещенности оценок, меньших математических трудностей при разработке и других) для нахождения оценок параметров сигналов используется метод максимального правдоподобия. Применим он и для моделей сигналов (1.1-1.4). Как известно [6,12,22,23], полученные этим методом оценки являются оптимальными для сигнала с шумами и помехами по критерию максимального правдоподобия и рассматриваются как оценки, имеющие минимально возможную случайную погрешность при полном отсутствии систематической погрешности (смещения).

Метод максимального правдоподобия нахождения оценки параметра сигнала требует поиска максимума максиморума функции правдоподобия, описывающей плотность вероятности распределения смеси сигнала с шумом. В общем случае функция правдоподобия имеет вид [12,23]:

, (1.5)

где - гармонический опорный сигнал, соответствующий по структуре полезному;

- один или несколько оцениваемых параметров сигнала;

- односторонняя спектральная плотность белого шума;

- начальный момент времени измерения;

- время измерения (интегрирования, обращения к сигналу).

На практике задача поиска максимума сводится к поиску нуля производной логарифма функции правдоподобия [12,23]:

, (1.6)

где - логарифм функции правдоподобия (1.5):

. (1.7)

Здесь - оценка одного или нескольких оцениваемых параметров сигнала, при которых уравнение (1.6) - истина.

Дальнейшие исследования показали, что при измерениях за время некратное периоду исследуемого сигнала, уравнение (или система уравнений) вида (1.6) имеют разные решения при совмещении момента с нулевым значением опорного сигнала или со значением, симметрично отстоящим от нуля. Математически это связано с разными пределами в интегралах, описывающих операции с сигналом.

Это привело к разделению решаемой задачи на два направления: разработка алгоритмов оценок параметров исследуемого сигнала в симметричных и несимметричных пределах. Физический смысл разных пределов заключается в моменте, на который определяется результат измерения. При симметричных пределах () - это середина измерительного интервала, а при несимметричных () - начало. Преимущества и недостатки каждого варианта рассмотрены в главе 4 при разработке конкретных структур измерителей.

1.2 Анализ погрешностей измерения параметров исследуемого

сигнала известными методами при проведении измерений за время менее периода

На примере одного из параметров исследуемых сигналов (1.1-1.4) - фазового сдвига можно продемонстрировать результаты исследования методических погрешностей «классического» алгоритма оценки в случае его применения для измерений за время некратное периоду исследуемого сигнала.

Как известно, оценка фазового сдвига гармонического сигнала вида (1.1) имеет вид [4,12,23]:

(1.8)

где - синусная и косинусная (ортогональные) составляющие опорного сигнала определяемые как:

, (1.9)

. (1.10)

Оценка (1.8), называемая ортогональным алгоритмом измерения фазового сдвига, соответствует максимуму функции правдоподобия не только для сигнала (1.1), но и для остальных моделей исследуемого сигнала (1.2-1.4) и является оптимальной оценкой по критерию максимального правдоподобия. Однако, все свойства данной оценки, делающие её оптимальной, имеют место только при времени измерения , где - период сигнала, а - любое целое число. При , даже при теоретическом случае полного отсутствия шума, оценка фазового сдвига (1.8) не равна истинному значению - .

Подставляя в (1.8) сигнал (1.1) без шума и ортогональные составляющие (1.9-1.10) и, взяв интегралы, получим:

, (1.11)

где . (1.12)

Очевидно, что при оценка . В противном случае всегда будет присутствовать систематическая погрешность, уменьшающаяся с ростом . На рисунке 1 показан характер погрешности в виде графика поверхности f1 для одновременной демонстрации зависимости оценки от истинного значения для диапазона отношения в пределах .

Рис.1. Зависимость измеренного фазового сдвига от для отношения в диапазоне по алгоритму (1.8).

Как видно из рисунка 1, даже в этом простом случае величина появляющейся систематической погрешности может достигать (при ), что делает проведение измерений практически невозможным.

Как отмечалось в разделе 1.1, при измерениях за время менее и некратное периоду необходимо рассматривать отдельно случаи симметричных и несимметричных измерительных интервалов. Тогда, при замене пределов в выражении для оценки (1.8) на несимметричные и проведении аналогичных преобразований, оценка (1.11) примет другой вид:

, (1.13)

где , (1.14)

. (1.15)

На рисунке 2 представлена зависимость отношения от отношения в диапазоне для симметричного (функция f2) и несимметричного (функция f4) измерительных интервалов. Для наглядности и сопоставимости истинные значения фазового сдвига выбраны вблизи нуля, что соответствует близкому к максимальному отношению , но не соответствует максимальным значениям самой систематической погрешности.

Для оценки абсолютных отклонений измеренного фазового сдвига от истинного на рисунке 3 приведена зависимость от в диапазоне от 0? до 90? для выражений (1.11) - функция f2 и (1.13) - функция f4.

Как видно из рисунков 2 и 3, даже в этом случае небольших значений систематической погрешности, она настолько существенна, при отклонении времени измерения от кратности периоду (полупериоду), что подтверждает вывод о невозможности измерений.

Рис.2. Зависимость отношения оценки к истинному значению фазового сдвига от времени измерения для двух видов измерительных интервалов.

Рис. 3. Зависимость оценки фазового сдвига от истинного значения для относительного времени измерения .

Наличие в составе исследуемого сигнала постоянной составляющей (1.2) приводит к увеличению систематической погрешности алгоритма оценки (1.8) при использовании его в условиях некратности времени измерения периоду сигнала. Выражения для оценок в симметричном и несимметричном измерительных интервалах примут соответственно вид:

, (1.16)

, (1.17)

где определяются соответственно (1.12, 1.14, 1.15), а дополнительно введены обозначения:

, (1.18)

. (1.19)

Как видно, и в этом случае только при кратности времени измерения периоду сигнала возможно отсутствие смещения оценки (1.8). При этом появляется дополнительная зависимость этого смещения от соотношения значений амплитуды и постоянной составляющей, что делает затруднительным даже расчет величины появляющегося смещения.

При практической реализации высокоточных измерителей фазового сдвига в условиях произвольного времени измерения необходимо оценить границы применения алгоритма оценки (1.8) в зависимости от допустимой величины систематической погрешности. Путем несложных математических расчетов и построения соответствующих зависимостей, для заданных порогов систематической погрешности в 0,1%, 1% и 10% получим следующие оценочные результаты (таблица 1), определяющие минимальное число периодов исследуемого сигнала. Значения приведены для частного случая , а также для упрощения положено равенство .

Т а б л и ц а 1

Для практических целей, используя (1.11, 1.13, 1.16, 1.17) можно получить значения систематической ошибки для конкретной ситуации при проведении измерений. Задача упрощается тем, что, как видно из таблицы, зависимость погрешности от числа периодов за время измерения практически линейная, особенно для больших измерительных интервалов.

При наличии в исследуемом сигнале нелинейных искажений (-ой гармоники) в выражениях для оценки фазового сдвига по алгоритму (1.8) в условиях отсутствия шума появляется зависимость не только от значения фазы и амплитуды первой гармоники, но и -ой. Для сигнала (1.3) для симметричного и несимметричного измерительных интервалов выражения для определения смещения оценки примут вид:

, (1.20)

(1.21)

где определяются (1.12, 1.14, 1.15), а дополнительно обозначены составляющие:

, (1.22)

, (1.23)

, (1.24)

, (1.25)

, (1.26)

. (1.27)

На рисунке 4 для частного случая равенства и показан характер зависимости отношения оценок (1.20, 1.21) к истинному значению фазового сдвига для диапазона отношения от для симметричного (функция f10) и несимметричного (функция f12) измерительных интервалов.

Как видно из рисунка, при наличии нелинейных искажений измерения с несмещенным результатом возможны только за время кратное периоду.

Можно показать, что наличие вместе с нелинейными искажениями еще и постоянной составляющей также приводит к значительному смещению оценки фазового сдвига.

Выражения будут иметь вид:

, (1.28)

(1.29)

где определяются соответственно (1.12, 1.14, 1.15, 1.18, 1.19, 1.22-1.27).

Рис.4. Зависимость отношения от относительного времени измерения () для двух видов измерительного интервала.

В таблице 2 приведены оценочные количественные значения необходимого минимального числа периодов исследуемых сигналов для обеспечения заданного порогового значения систематической погрешности. Условия, использованные при подсчете, аналогичны условиям для таблицы 1.

Т а б л и ц а 2

Очевидно, что все сказанное выше справедливо и к измерителям амплитуды гармонического сигнала вида (1.1). Оценка амплитуды, оптимальная по критерию максимального правдоподобия для сигнала (1.1) при измерении за время кратное периоду имеет вид [4,6,23]:

. (1.30)

Как и для оценки фазового сдвига, можно показать, что (даже в отсутствие шума) только при кратности времени измерения периоду сигнала, в противном случае, возникающая систематическая погрешность, зависящая от времени измерения и фазового сдвига, делает измерения практически невозможными. Выражение (1.30) является основой построения не только собственно измерителей амплитуды, но и оптимальных и квазиоптимальных обнаружителей радиосигнала в различных областях. Принцип обнаружения, как правило, основан на быстрой оценке энергии сигнала (или просто амплитуды за время наблюдения) и сравнение с заданным порогом. Использование алгоритма, дающего значительную погрешность при некратном периоду (меньше периода) сигнала времени наблюдения, безусловно, даст ошибочный результат при сравнении с порогом, а, следовательно, и результат обнаружения будет недостоверен.

Таким образом, возникает задача разработки и исследования точностных характеристик алгоритмов оценок параметров гармонического радиосигнала, не имеющих систематической погрешности при любом произвольном времени измерения, в том числе и менее периода (полупериода) сигнала.

1.3 Анализ существующих методов измерения параметров сигнала

при времени измерения, не ограниченном кратностью периоду

В настоящее время известен ряд работ, в которых предложены некоторые пути решения поставленной задачи - измерения параметров радиосигнала за время менее периода для ряда частных случаев или отдельных параметров сигнала.

Так в [34] впервые был получен алгоритм оценки фазового сдвига для косинусного варианта модели исследуемого сигнала (1.1) для несимметричного измерительного интервала, не ограниченного кратностью периоду. В главе 2 показано, что первоначальный вариант из [34] содержал неточность (приведен правильный вариант этого алгоритма).

В [34] алгоритм был получен из уравнения правдоподобия, составленного для случая неизвестных амплитуды и фазового сдвига, однако решено оно было только приближенным путем, без учета шума. Это не позволило назвать его оптимальным, хотя дальнейшие исследования, в том числе и автором настоящей диссертационной работы, показали, что полученное решение соответствует именно оптимальной по критерию максимального правдоподобия оценке фазового сдвига в данных условиях измерения, и вывод, сделанный в работе, об обеспечиваемой алгоритмом дисперсии на уровне минимально возможной, является достоверным. При этом алгоритм обеспечивал несмещенную оценку для произвольного времени измерения.

К сожаленью, данная работа не получила дальнейшего развития, что привело к повторению её результатов в других, более поздних исследованиях. Так в [2] также получен алгоритм оценки фазового сдвига для сигнала (1.1) и также без прямого решения уравнения правдоподобия, а путем поиска таких дополнительных членов для алгоритма (1.8), которые полностью бы компенсировали появляющееся смещение оценки при времени измерения некратном периоду. При этом удалось получить аналогичный, приведенному в главе 2 результат, хотя в данной диссертационной работе он получен путем строгого решения системы уравнений, обеспечивающих максимум максиморум функции правдоподобия.

В [2] отмечена и исследована причина появления смещения оценки (1.8) в условиях некратности времени измерения периоду сигнала - это нарушение ортогональности обработки и появление корреляции между числителем и знаменателем. Также получены выражения для дисперсии оценки фазового сдвига, аналогичные приведенным в главе 3, но они тоже получены без применения функции правдоподобия и, строго говоря, не могут подтвердить оптимальность полученной оценки.

В работах В.Н.Уголькова [35-41] проблема измерения параметров гармонического сигнала рассмотрена с использованием так называемого метода обработки кривой мгновенных значений. При этом доказывается, что все параметры гармонического сигнала могут быть получены уже по 3-м мгновенным равномерно взятым выборкам, причем за время менее периода. То есть для сигнала вида:

(1.31)

достаточно получить следующую систему уравнений:

, (1.32)

где - интервал взятия выборок из сигнала (1.31).

В [39] приведено решение системы относительно в виде:

. (1.33)

Показано, что алгоритм (1.33) не зависит от частоты , а минимальное время обращения к сигналу равно . При априорной известности выполнения условия возможно однозначное определение частоты по формуле:

, (1.34)

где - период сигнала (1.31).

Для нахождения фазового сдвига предлагается составить вторую систему уравнений, подобную (1.32), но с учетом фазового сдвига второго сигнала. Тогда мгновенный сдвиг фаз между сигналами и , отнесенный ко времени , определится из выражения:

, (1.34)

где второй сигнал соответственно имеет вид:

. (1.35)

При этом для однозначного результата также необходимо выполнение условия .

Нетрудно заметить, что все приведенные выше выражения для параметров гармонического сигнала получены в предположении полного отсутствия какого-либо мешающего воздействия, даже белого шума. Это делает полученные результаты только теоретическими, и их невозможно использовать на практике. Естественно, данные результаты не могут быть сравнимы с оптимальными алгоритмами, полученными по критерию максимального правдоподобия.

В дальнейших работах [40] также повторено получение алгоритма фазового сдвига как в [34] путем формирования дополнительных корректирующих составляющих в алгоритм (1.8) для восстановления ортогональности при любом времени измерения.

Наиболее последовательный и системный подход к решению задачи нахождения оптимальных алгоритмов оценки параметров радиосигналов за время некратное периоду был предложен М.К.Чмыхом. В [18,19] им получены оптимальные алгоритмы оценки фазового сдвига для симметричного измерительного интервала для сигналов (1.1) и (1.2), то есть, без и при наличии в сигнале, кроме белого шума, еще и постоянной составляющей. Утверждения других авторов о невозможности решить уравнение или систему уравнений для поиска максимума функции правдоподобия для данных условий оказались неверными [15,41]. В главе 2 подробно описаны полученные в [18,19] оценки фазового сдвига. Однако оценки других параметров М.К.Чмыхом получены не были.

В [12] показано, что в условиях измерений за время некратное периоду сигнала фазовый сдвиг становится энергетическим параметром, поэтому изменяется вид функции правдоподобия, для которой ищется максимум путем приравнивания нулю производной от её логарифма.

Одновременно, в [12,20] разработан метод получения статистических характеристик оценок фазового сдвига с использованием разложения в ряд Тейлора функции правдоподобия для исследуемого сигнала. Анализ результатов позволил утверждать, что полученные оценки, кроме несмещенности, то есть отсутствия систематической погрешности, имеют минимально возможную случайную погрешность и могут называться оптимальными.

В [43-51] приведены разработанные алгоритмы оценок всех параметров для сигналов вида (1.1-1.4) с использованием метода максимального правдоподобия. В [31,32] приведены результаты исследования статистических свойств оценок всех параметров для сигналов (1.1, 1.2).

На основании результатов, опубликованных в [18-20,32,47,48] А.В.Шакурским были разработаны и обобщены в [15] алгоритмы оценки параметров гармонического сигнала при наличии нестационарных помех для случая некратности времени измерения периоду гармонического сигнала. Основываясь на методе максимального правдоподобия показана возможность оценки параметров гармонического сигнала при наличии на входе измерителя дополнительно к сигналу (1.1) некой суммарной помехи, представляющей собой сумму произведения известных функций квазидетерминированных помех и неизвестных коэффициентов.

В результате получены оптимальные оценки фазового сдвига и амплитуды для сигнала типа (1.1) для симметричного измерительного интервала, получены выражения и исследована потенциальная точность данных оценок. При этом показано, что при отсутствии дополнительной нестационарной помехи алгоритмы оценок и выражения для погрешностей переходят в известные [18,20,44]. Полученные в [15] алгоритмы оценок фазового сдвига и амплитуды имеют аналогичный вид и отличаются только другим опорным сигналом, который, согласно общим принципам метода максимального правдоподобия, должен точно повторять структуру исследуемого (полезного) сигнала. В главе 2 представлены примеры таких алгоритмов оценок.

В результате анализа известных работ можно сделать общий вывод, что, имея алгоритмы оценок параметров для базовых моделей исследуемых сигналов (например (1.1-1.4)), можно получить выражения для оптимальных оценок и более сложных сигналов, изменив соответствующим образом вид опорного сигнала и проведя необходимые преобразования.

Результаты разработки алгоритмов оценок основных параметров исследуемых моделей сигнала (1.1-1.4) для двух видов измерительных интервалов, полученных по методу максимального правдоподобия, кроме указанных выше, представлены в [3,5,7,11,26,29,42-51], а также дополнены и обобщены в настоящей диссертационной работе (глава 2).

Результаты исследования погрешностей оптимальных оценок параметров сигналов (1.1-1.4), кроме указанных выше, представлены в [9,11,14,31,42] и также дополнены и обобщены в главе 3 настоящей работы.

Необходимо отметить, что на основании проведенных М.К.Чмыхом и автором данной работы исследований, в [33] разработана и утверждена методика аттестации фазоизмерительных и фазозадающих устройств с временем обращения к сигналу менее одного периода.