3. МЕТОДИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ПРИВОДА ПОСТОЯННОГО ТОКА ДИСКРЕТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Применение цифровых систем управления электроприводами постоянного тока требует особого подхода к их математическому описанию и моделированию. Это обусловлено наличием квантования непрерывных функций (тока, скорости, положения) по уровню и времени, а также запаздыванием результатов расчетов.

Для анализа и синтеза цифровых систем управления применяют метод дискретных передаточных функций (ДПФ) и метод дискретных частотных характеристик (ДЧХ).

Первый метод дает возможность оптимизировать динамические характеристики во временной области, однако на практике его применение ограничивается системами невысокого порядка.

Метод ДЧХ позволяет осуществлять синтез регулятора в частотной области. Он значительно проще метода ДПФ, однако его применение возможно только при определенных соотношениях между частотой квантования, частотой среза и малыми постоянными времени. Синтезированный по этому метода регулятор не является строго оптимальным; так как фактически метод основан на аналогии дискретных и непрерывных систем при малых значениях периода квантования. Однако если учесть, что система управления приводом строится по структуре подчиненного регулирования, метод ДЧХ является единственным средством математического описания привода.

Модель цифрового электропривода может быть представлена двумя частями - неизменяемой частью (НЧ), которая охватывает все элементы объекта (преобразователь, двигатель, кинематическую схему и др.) и дискретной частью (МП-система), которая реализует корректирующий алгоритм цифрового регулятора.

Структурная схема цифровой системы электропривода представлена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 - Структурная схема системы электропривода

Неизменяемая часть описывается обычно дифференциальными уравнениями, представленными передаточной функцией , а цифровые регуляторы - уравнениями в разностной форме, представленными передаточной функцией .

Единое представление этих частей системы может быть получено с помощью z-преобразования и связанного с ним билинейного w-преобразования.

Задающее воздействие и сигнал обратной связи представляют собой решетчатые функции. Функция сигнала ошибки под действием корректирующего алгоритма цифрового регулятора, описываемого дискретной передаточной функцией (ДПФ) , превращается в решетчатую функцию управления . Соединение дискретной части с неизменяемой частью обеспечиваются фиксатором.

Выходной сигнал фиксатора, например, регистра или цифро-аналогового преобразователя, должен быть экстраполированным, то есть преобразованным в непрерывную форму. Обычно сигнал экстраполируется функцией нулевого порядка .

Объединив экстраполятор с неизменяемой частью, получим приведенную неизменяемую часть с передаточной функцией:

. (3.1)

Дискретная передаточная функция неизменяемой части представляется Z-преобразованием:

(3.2)

где - z-преобразование передаточной функции приведенной неизменяемой части; .

Неизменяемая часть включает в себя экстраполятор, формирователь тока якоря, двигатель постоянного тока и датчик обратной связи, которые описываются передаточными функциями - , , , соответственно.

Передаточная функция формирователя тока описывает соединение двух звеньев, включенных последовательно и образующих единую систему - преобразователь (ТП или ШИП) и якорную цепь двигателя. В результате такого объединения исключается математическое описание преобразователя, который имеет сложную форму выходного напряжения, и математический анализ производится относительно импульсов тока якоря, форма которых проще. При этом передаточная функция формирователя тока приобретает следующий вид:

, (3.3)

где - коэффициент передачи по току;

- относительная длительность импульса напряжения ( 1);

- целое число периодов дискретности , на которое запаздывает импульс напряжения относительно времени подачи управляющего сигнала, принимаем l=1 (для ШИП);

- дробная часть периода дискретности (0 1), характеризующая величину запаздывания импульса напряжения;

- функция запаздывания;

- функция длительности импульса напряжения.

- постоянная времени якорной цепи двигателя.

Постоянная времени цепи якоря , определяется по формуле:

, (3.4)

где - суммарные значения индуктивностей и сопротивлений обмотки якоря электродвигателя, трансформатора, уравнительных реакторов и дросселя, соединительных проводов и силовой цепи преобразователя.

Учитывая, что передаточная функция якорной цепи введена в передаточную функцию формирователя тока, в структуре двигателя (рисунок 3.2) остается лишь звено, описывающее электромеханическую часть двигателя:

. где . (3.5)

Рисунок 3.2 - Структурная схема двигателя постоянного тока

В качестве датчиков скорости применяются устройства, инерционность которых неизмеримо мала по сравнению с периодом дискретности. Поэтому они могут быть представлены пропорциональным звеном с передаточной функцией:

. (3.6)

С учетом изложенного передаточная функция приведенной неизменяемой части приобретает вид:

(3.7)

(3.8)

Произведя преобразования, получим:

, (3.9)

где - коэффициент передачи неизменяемой части.

Коэффициент может быть принят равным единице, так как обычно диапазоны управляющих воздействий и сигналов обратной связи одинаковы, (разрядность кода управления равна разрядности кода обратной связи ).

Для выполнения синтеза цифрового регулятора неизменяемая часть должна быть представлена дискретными функциями.

Определим дискретную передаточную функцию (ДПФ) приведенной неизменяемой части:

. (3.10)

При этом следует иметь в виду, что в описании неизменяемой части имеются элементы запаздывания вида , для которых следует применять модифицированное -преобразование.

Тогда выражение (3.10) принимает вид:

.(3.11)

В этом выражении - оператор -преобразования без запаздывания, а - оператор модифицированного -преобразования (с запаздыванием).

Выполнив -преобразования получим выражение

. (3.12)

Где

- коэффициент передачи неизменяемой части;

;

;

.

Коэффициент может быть принят равным единице, так как обычно диапазоны управляющих воздействий и сигналов обратной связи одинаковы, (разрядность кода управления равна разрядности кода обратной связи ).

Произведя сокращения, получим ДПФ неизменяемой части привода:

. (3.13)

=1,

С помощью программного пакета MatLab Simulik можна исследовать поведение САУ ЕП в переходных режимах при налички или отсутствии возбуждающих действий.

Рисунок 3.3 - Структурная схема неизменяемой части двигателя постоянного тока в Simulik

Рисунок 3.3 -График переходного процесса.

Как видно из графика время переходного процесса не отвечает заданым критериям, а поэтому необходимо использовать регулятор для улучшения скорости.

Определение ДПФ неизменяемой части привода позволяет перейти к синтезу регулятора.

Так как синтез регулятора привода целесообразно проводить в частотной области, то дискретную передаточную функцию следует преобразовать в дискретную частотную характеристику (ДЧХ) с помощью билинейного -преобразования , где .

Для перехода к ДЧХ необходимо в выражении (4.22) произвести подстановку:

. (3.14)

Таким образом, в результате преобразований дискретная частотная характеристика неизменяемой части электропривода постоянного тока с широтно-импульсным преобразователем и фотоэлектрическим датчиком скорости равна:

. (3.15)

Здесь выражение представляет собой характеристику запаздывания управляющего воздействия, а является описанием частотных параметров неизменяемой части привода.