Расчет установившихся режимов линейных электрических цепей
3.1 Цель работы
1. Выполнение разложения несинусоидального входного напряжения в ряд Фурье.
2. Расчет линейной электрической цепи с помощью метода наложения гармоник.
3. Проверка баланса мощностей.
4. Построение графиков входного напряжения и тока по результатам расчета и сравнение их с экспериментальными.
3.2 Теоретические сведения
Существует класс линейных электрических цепей, которые содержат источники периодических несинусоидальных ЭДС, напряжений или токов. Под воздействием таких источников в цепи возникают токи, которые также являются периодическими несинусоидальными функциями времени. Периодические несинусоидальные функции, как известно, описываются рядами Фурье, одна из форм которых имеет вид:
где угловая частота функции;
T период функции;
нулевая гармоника, или постоянная составляющая;
соответственно коэффициенты синусных и косинусных составляющих ряда.
При интегрировании по переменной формулы принимают вид:
Связь между этими выражениями осуществляется в соответствии с равенством .
Используя соотношение
,
где ; , разложение исходной функции можно переписать в форме:
где первая (основная) гармоника;
высшая гармоника.
Соответственно
амплитуды гармоник;
начальные фазы гармоник;
номер (порядок) гармоники.
Поскольку рассматриваются линейные цепи, то согласно принципу наложения действие каждой гармоники напряжения (ЭДС) источника можно считать независимым. Поэтому расчет для каждой гармоники проводится отдельно и представляет собой расчет цепи синусоидального тока на частоте соответствующей гармоники . Для нулевых гармоник применяются методы расчета цепей постоянного тока.
Например, ЭДС источника описывается рядом:
.
Последовательным расчетом определяются токи соответствующих гармоник, и в конечном итоге для тока формируется ряд в форме:
,
по структуре аналогичный ряду для разложения напряжения.
Здесь нулевая гармоника тока;
первая (основная) гармоника;
высшие гармоники тока.
В случае, когда периодическая несинусоидальная функция задана графически, например в виде осциллограммы, используется приближенный способ определения коэффициентов ряда Фурье. При этом период несинусоидальной функции , равный , разбивают на m частей и интегралы Фурье заменяют суммами:
Число интервалов m зависит от порядка конечной учитываемой гармоники. Например, если разложение заканчивается пятой гармоникой и минимальное число точек на периоде этой гармоники принять m5 = 6, то число m в формулах перехода к суммам должно быть не меньше значения .
Свойства периодических несинусоидальных функций, обладающих симметрией
Прежде чем приступить к расчету коэффициентов ряда, необходимо выяснить, не обладает ли функция симметрией относительно осей координат. Наличие того или иного вида симметрии позволяет предсказать, какие гармоники будет содержать ряд.
Если для функции выполняется условие ,
то функция симметрична относительно оси абсцисс (рис. 32).
Рис. 32 Функция, симметричная относительно оси абсцисс
Ряд Фурье таких функций не содержит постоянную составляющую и четные гармоники :
Функция, для которой выполняется условие
,
симметрична относительно оси ординат (рис. 33) четная функция.
Рис. 33. Функция, симметричная относительно оси ординат
В этом случае отсутствуют синусные составляющие (А1 = А2 = А3 = … = 0):
В случае выполнения условия
функция симметрична относительно начала координат (рис. 34) нечетная функция.
Рис. 34 Функция, симметричная относительно начала координат
В разложении функции отсутствуют постоянная составляющая и косинусные гармоники :
Действующие значения несинусоидальных ЭДС, напряжений и токов
Действующее (среднеквадратичное) значение периодической функции f(t)
Например, для тока
в соответствии с выражением для мощности
Однако а
следовательно,
,
или
.
Учитывая, что можно записать:
.
Аналогично действующее значение ЭДС
действующее значение напряжения
Как видно из этих формул, действующее значение несинусоидального тока (ЭДС, напряжения) равно корню квадратному из суммы квадратов действующих значений гармоник этого тока (ЭДС, напряжения). Действующие значения измеряются приборами электромагнитной, электродинамической, ферродинамической, электростатической и тепловой систем.
Мощности
Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности р = ui за период функции или ее первой гармоники:
Так как для каждой гармоники
и то
Вт
где , действующие значения соответственно напряжения и тока k-й гармоники;
угол сдвига фаз между напряжением и током -й гармоники.
Реактивная мощность Q равна сумме реактивных мощностей гармоник, вар:
.
Полная мощность S определяется как произведение действующих значений напряжения и тока, ВА:
.
Коэффициент мощности
.
Для оценки энергетических свойств цепи применяется также отношение реактивной мощности к активной Q / P.
Расчет токов и напряжений в цепях с несинусоидальными
напряжениями и токами
Напряжение или ток источника представляется рядом Фурье. В соответствии с принципом наложения расчет проводят для каждой из гармоник в отдельности. При этом следует учитывать, что активное сопротивление не зависит от частоты, индуктивное и емкостное сопротивления для k-й гармоники равны соответственно:
.
В электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, при выполнении условия или возникает резонанс на k-й гармонике. В случае резонанса напряжений схема выделяет эту гармонику в спектре тока или подавляет ее в случае резонанса токов.
3.3 Экспериментальная часть
Для схемы (рис.35) при заданных значениях амплитуды Um, периода T и продолжительности импульса Д1 питающего напряжения зарисовал с экрана осциллографа кривые входного напряжения и тока (рис.2), указав масштабы по вертикали , и горизонтали - .
Рис.35 Исследуемая схема
Рис. 36 Экспериментальная кривая напряжения и тока
Порядок проведения эксперимента
а) установил на выходе генератора напряжение = 7 В.
б) с помощью переключателей “Период Т” и “Временной сдвиг Д1” генератора установил заданный период Т=1000 (реально период следования импульсов составила 960 мкс) и длительность Д1=600 мкс импульса. При этом переключатель “ Х ” генератора установил в положении “ 1 ”;
в) подключил к заданной схеме (рис. 1) выход генератора и входы осциллографа и зарисовал кривые тока i и напряжения u ,
3.4 Расчетная часть
Разложение входного напряжения в ряд Фурье:
В комплексной форме амплитуды гармоник найдем по формуле:
где Umax - амплитуда прямоугольных импульсов от генератора, k - номер гармоники, a--- скважность прямоугольных импульсов (отношение длительности импульса к его периоду).
Скважность импульсов .
Рассчитаем амплитуды и фазы первых сорока гармоник (нулевая соответствует постоянному току):
Амплитуды гармонических составляющих входного несинусоидального напряжения
Таблица 13
Номер гармоники |
Угловая частота гармоники, рад/сек |
Амплитуда гармоники, В |
Номер гармоники |
Угловая частота гармоники, рад/сек |
Амплитуда гармоники, В |
|
0 |
0 |
4,375 |
21 |
137400 |
0,081 |
|
1 |
6545 |
4,117 |
22 |
144000 |
0,143 |
|
2 |
13090 |
1,576 |
23 |
150500 |
0,179 |
|
3 |
19630 |
0,568 |
24 |
157100 |
0 |
|
4 |
26180 |
1,114 |
25 |
163600 |
0,165 |
|
5 |
32720 |
0,341 |
26 |
170200 |
0,121 |
|
6 |
39270 |
0,525 |
27 |
176700 |
0,063 |
|
7 |
45810 |
0,588 |
28 |
183300 |
0,159 |
|
8 |
52360 |
0 |
29 |
189800 |
0,059 |
|
9 |
58900 |
0,457 |
30 |
196300 |
0,105 |
|
10 |
65450 |
0,315 |
31 |
202900 |
0,133 |
|
11 |
71990 |
0,155 |
32 |
209400 |
0 |
|
12 |
78540 |
0,371 |
33 |
216000 |
0,125 |
|
13 |
85080 |
0,131 |
34 |
222500 |
0,093 |
|
14 |
91630 |
0,225 |
35 |
229100 |
0,049 |
|
15 |
98170 |
0,274 |
36 |
235600 |
0,124 |
|
16 |
104700 |
0 |
37 |
242200 |
0,046 |
|
17 |
111300 |
0,242 |
38 |
248700 |
0,083 |
|
18 |
117800 |
0,175 |
39 |
255300 |
0,106 |
|
19 |
124400 |
0,09 |
40 |
261800 |
0 |
|
20 |
130900 |
0,223 |
Начальные фазы гармоник
Таблица 14
Номер гармоники |
Начальная фаза, град. |
Номер гармоники |
Начальная фаза, град. |
Номер гармоники |
Начальная фаза, град. |
Номер гармоники |
Начальная фаза, град |
|
1 |
90 |
11 |
90 |
21 |
-90 |
31 |
-90 |
|
2 |
-90 |
12 |
-90 |
22 |
-90 |
32 |
-90 |
|
3 |
-90 |
13 |
90 |
23 |
90 |
33 |
90 |
|
4 |
90 |
14 |
90 |
24 |
90 |
34 |
-90 |
|
5 |
-90 |
15 |
-90 |
25 |
-90 |
35 |
-90 |
|
6 |
-90 |
16 |
-90 |
26 |
90 |
36 |
90 |
|
7 |
90 |
17 |
90 |
27 |
90 |
37 |
-90 |
|
8 |
90 |
18 |
-90 |
28 |
-90 |
38 |
-90 |
|
9 |
-90 |
19 |
-90 |
29 |
90 |
39 |
90 |
|
10 |
90 |
20 |
90 |
30 |
90 |
40 |
-90 |
Запишем аналитическое выражение входного напряжение через ряд Фурье для первых пяти гармоник:
Рис. 37 Кривые входного напряжения
Расчет мгновенных значений гармоник входного тока
Входное сопротивление цепи на постоянном токе:
Входное сопротивление цепи на переменном токе - для тока гармоник:
Зависимость входного сопротивления исследуемой цепи от номера гармоники
Таблица 15
Номер гармоники |
Комплексное входное сопротивление цепи, Ом |
|
1 |
1748-405,363i |
|
2 |
1584-101,237i |
|
3 |
1555+83,661i |
|
4 |
1554+225,407i |
|
5 |
1563+347,776i |
|
6 |
1578+459,545i |
|
7 |
1598+564,57i |
|
8 |
1622+664,752i |
|
9 |
1650+761,095i |
|
10 |
1680+854,157i |
|
11 |
1714+944,25i |
|
12 |
1751+1032i |
|
13 |
1790+1116i |
|
14 |
1832+1198i |
|
15 |
1876+1277i |
|
16 |
1922+1354i |
|
17 |
1970+1428i |
|
18 |
2021+1499i |
|
19 |
2073+1568i |
|
20 |
2126+1634i |
|
21 |
2181+1697i |
|
22 |
2237+1758i |
|
23 |
2294+1816i |
|
24 |
2353+1871i |
|
25 |
2412+1923i |
|
26 |
2472+1973i |
|
27 |
2532+2021i |
|
28 |
2593+2066i |
|
29 |
2654+2108i |
|
30 |
2715+2148i |
|
31 |
2777+2186i |
|
32 |
2838+2221i |
|
33 |
2900+2254i |
|
34 |
2961+2285i |
|
35 |
3022+2313i |
|
36 |
3082+2340i |
|
37 |
3143+2364i |
|
38 |
3202+2387i |
|
39 |
3262+2408i |
|
40 |
3320+2427i |
Рассчитаем входной ток цепи на гармониках входного напряжения:
,
здесь k - номер гармоники, Um k - амплитуда напряжения k-ой гармоники, Zvh(?k) - входное сопротивления цепи на частоте k-ой гармоники.
Токи гармоник
Таблица 16
Номер гармоники |
Амплитуда тока, А |
Фаза, град. |
|
0 |
0,001556 |
||
1 |
0,002295 |
103,058 |
|
2 |
0,000993 |
-86,343 |
|
3 |
0,000365 |
-93,08 |
|
4 |
0,00071 |
81,744 |
|
5 |
0,000213 |
-102,547 |
|
6 |
0,00032 |
-106,236 |
|
7 |
0,000347 |
70,543 |
|
8 |
0 |
67,716 |
|
9 |
0,000252 |
-114,768 |
|
10 |
0,000167 |
63,054 |
|
11 |
7,92E-05 |
61,15 |
|
12 |
0,000183 |
-120,508 |
|
13 |
6,22E-05 |
58,053 |
|
14 |
0,000103 |
56,812 |
|
15 |
0,000121 |
-124,254 |
|
16 |
0 |
-125,162 |
|
17 |
9,95E-05 |
54,069 |
|
18 |
6,96E-05 |
-126,575 |
|
19 |
3,45E-05 |
-127,108 |
|
20 |
8,31E-05 |
52,458 |
|
21 |
2,94E-05 |
-127,888 |
|
22 |
5,03E-05 |
-128,156 |
|
23 |
6,12E-05 |
51,645 |
|
24 |
0 |
51,508 |
|
25 |
5,34E-05 |
-128,573 |
|
26 |
3,83E-05 |
51,394 |
|
27 |
1,95E-05 |
51,404 |
|
28 |
4,8E-05 |
-128,546 |
|
29 |
1,74E-05 |
51,537 |
|
30 |
3,03E-05 |
51,651 |
|
31 |
3,76E-05 |
-128,209 |
|
32 |
0 |
-128,045 |
|
33 |
3,4E-05 |
52,141 |
|
34 |
2,48E-05 |
-127,656 |
|
35 |
1,28E-05 |
-127,436 |
|
36 |
3,2E-05 |
52,797 |
|
37 |
1,17E-05 |
-126,956 |
|
38 |
2,08E-05 |
-126,7 |
|
39 |
2,6E-05 |
53,566 |
|
40 |
0 |
-126,16 |
Запишем аналитическое выражение для входного тока пяти первых гармоник (ток измеряется в микроамперах):
Действующие значения входного напряжения и тока
,
,
Рис. 38 Кривая входного тока
Значения активной, реактивной и полной мощности цепи, коэффициентов мощности и несинусоидальности напряжения и тока рассчитывается по формулам:
Мощность в исследуемой цепи
Таблица 17
Номер гармоники |
Полная мощность цепи, В*А |
Активная мощность, Вт |
Реактивная мощность, вар |
|
0 |
6,85E-03 |
0,006849 |
0 |
|
1 |
4,72E-03 |
0,004602 |
-0,001067 |
|
2 |
7,82E-04 |
0,000781 |
-0,00004989 |
|
3 |
1,04E-04 |
0,000104 |
5,574E-06 |
|
4 |
3,95E-04 |
0,000391 |
0,00005677 |
|
5 |
3,63E-05 |
3,55E-05 |
7,893E-06 |
|
6 |
8,39E-05 |
8,06E-05 |
0,00002346 |
|
7 |
1,02E-04 |
9,62E-05 |
0,00003399 |
|
8 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
5,76E-05 |
5,23E-05 |
0,00002413 |
|
10 |
2,63E-05 |
2,35E-05 |
0,00001194 |
|
11 |
6,14E-06 |
5,38E-06 |
2,963E-06 |
|
12 |
3,39E-05 |
2,92E-05 |
0,00001723 |
|
13 |
4,08E-06 |
3,46E-06 |
2,158E-06 |
|
14 |
1,16E-05 |
9,69E-06 |
6,335E-06 |
|
15 |
1,66E-05 |
1,37E-05 |
9,342E-06 |
|
16 |
0 |
0 |
0 |
|
17 |
1,21E-05 |
9,76E-06 |
7,072E-06 |
|
18 |
6,09E-06 |
4,89E-06 |
3,629E-06 |
|
19 |
1,55E-06 |
1,24E-06 |
9,351E-07 |
|
20 |
9,26E-06 |
7,34E-06 |
5,641E-06 |
|
21 |
1,19E-06 |
9,42E-07 |
7,328E-07 |
|
22 |
3,61E-06 |
2,84E-06 |
2,227E-06 |
|
23 |
5,48E-06 |
4,29E-06 |
3,398E-06 |
|
24 |
0 |
0 |
0 |
|
25 |
4,40E-06 |
3,44E-06 |
2,741E-06 |
|
26 |
2,32E-06 |
1,82E-06 |
1,449E-06 |
|
27 |
6,16E-07 |
4,81E-07 |
3,841E-07 |
|
28 |
3,82E-06 |
2,99E-06 |
2,381E-06 |
|
29 |
5,10E-07 |
4E-07 |
3,173E-07 |
|
30 |
1,59E-06 |
1,25E-06 |
9,886E-07 |
|
31 |
2,50E-06 |
1,96E-06 |
1,544E-06 |
|
32 |
0 |
0 |
0 |
|
33 |
2,12E-06 |
1,67E-06 |
1,301E-06 |
|
34 |
1,15E-06 |
9,09E-07 |
7,016E-07 |
|
35 |
3,12E-07 |
2,48E-07 |
1,896E-07 |
|
36 |
1,98E-06 |
1,58E-06 |
1,197E-06 |
|
37 |
2,70E-07 |
2,16E-07 |
1,624E-07 |
|
38 |
8,61E-07 |
6,9E-07 |
5,144E-07 |
|
39 |
1,37E-06 |
1,11E-06 |
8,163E-07 |
|
40 |
0 |
0 |
0 |
Коэффициент мощности:
Коэффициент несинусоидальности тока и напряжения:
- номера гармоник, участвующие в расчете коэффициента несинусоидальности;
Построим зависимости амплитуд и начальных фаз от частоты для входного напряжения и тока.
А) Зависимость начальной фазы входного напряжения от частоты (номера гармоники):
Рис. 39 Начальные фазы входного напряжения
Б) Зависимость начальной фазы входного тока от частоты (номера гармоники):
Рис. 40 Начальные фазы входного тока
В) Зависимость амплитуды напряжения гармоник от частоты (номера гармоики):
Рис. 41 Амплитуды гармонических составляющих входного напряжения.
Г) Зависимость амплитуды тока гармоник от частоты (номера гармоники):
Рис. 42 Амплитуды гармонических составляющих входного тока.
3.5 Задача 1
На расчет ЛЭЦ при несинусоидальных входных воздействиях
К цепи приложено напряжение u:
.
Определить U, I, S, P, Kнс u, Kнс i
Решение:
Действующее значение приложенного напряжения:
1) Рассмотрим нулевую гармонику ,
2) Рассмотрим первую гармонику
3) Рассмотрим третью гармонику
4) Рассмотрим девятую гармонику
Общий ток в цепи:
Действующее значение тока:
Активная мощность:
Полная мощность:
Коэффициенты несинусоидальности входного напряжения и тока:
Задача 2
К цепи приложен ток i:
i = 1 + 1sin(t) + 1sin(3t) + 1sin(9t)
R = 2300 Ом;
L = 115 Ом;
1/C = 1035 Ом.
Определить: U, I, P, U 1m, U 9m, U3m
Действующее значение приложенного тока:
Рассчитаем входную проводимость цепи для каждой гармоники:
Амплитудные значения напряжений:
Действующее значение напряжения:
Активная мощность:
4. Исследование трехфазных цепей