Расчёт электрических фильтров по рабочим параметрам

курсовая работа

2. Аппроксимация частотной характеристики рабочего ослабления фильтра

В качестве аппроксимирующих удобно использовать полиномиальные функции, среди которых наиболее широкое применение имеют полиномы Баттерворта и Чебышева.

При выборе полинома Чебышева в качестве аппроксимирующего функция фильтрации определяется выражением:

, где .

- коэффициент неравномерности рабочего ослабления в полосе пропускания.

Рабочее ослабление определяется как:

.

- полином Чебышева, определяемый рекуррентной формулой

,

n- порядок фильтра:

Округляя в большую сторону, возьмем , тогда

.

Аппроксимация по Чебышеву получила название равноволновой.

Сформируем рабочую передаточную функцию:

.

С другой стороны модуль рабочей передаточной функции можно представить как:

.

Таким образом:

,т.е. ,

- полином Гурвица.

Решая уравнение , определим корни полинома Гурвица:

, .

Имеем:

Рис. 2 Изображение корней уравнения на комплексной плоскости

Формируем рабочую операторную передаточную функцию :

Подставляя , определим рабочее ослабление как:

.

Выполним проверку функции на частотах: , , .

, , .

Аппроксимированное рабочее ослабление удовлетворяет техническим требованиям.

Рисунок 3. - График рабочего ослабления ФНЧ

3. Реализация схемы фильтра ФНЧ по Дарлингтону

На данном этапе по найденной ранее функции Т(р) необходимо получить схему ФНЧ .

Реализация по Дарлингтону основана на формировании функции по . Тогда получение схемы нагруженного фильтра можно свести к реализации двухполюсника путем разложения функции Zвх(р) в цепную дробь (по Кауэру).

,

где - коэффициент отражения

При аппроксимации по Чебышеву имеем:

,

,

где

определяется по рекуррентной формуле заменой , при этом все слагаемые берутся со знаком «+».

,

Составим Zвх(р), выбирая знак “ - “ у функции с(р):

,

Разложим в цепную дробь по Кауэру:

Нормированное значение входного сопротивления в этом случае выражено в виде цепной дроби:

.

Нормированные значения ёмкостей и индуктивностей будут равны:

, , , , , .

Схема фильтра начинается с последовательно включенного элемента.

Схема. 1 Нормированная схема ФНЧ

Если выбрать знак “ + “ у функции с(р), то получим дуальную схему фильтра:

Нормированные значения ёмкостей и индуктивностей будут равны:

, , , , , .

Схема фильтра начинается с параллельно включенного элемента.

Схема. 2 Дуальная нормированная схема ФНЧ

В дальнейшем выбираем схему с меньшим числом индуктивностей (в нашем случае это схема с источником напряжения).

4. Денормирование и расчёт элементов схемы заданного фильтра

Для перехода от нормированной схемы к денормированной схеме с заданными нагрузочным сопротивлением R2 и граничной частотой f2 для ФНЧ осуществляется изменение уровня сопротивления и масштаба частоты с помощью следующих множителей:

а) преобразующий множитель сопротивления:

где R2 -- нагрузочное сопротивление;

r2 -- нормированное нагрузочное сопротивление;

б) преобразующий множитель частоты:

.

Тогда коэффициенты денормирования индуктивности и ёмкости определятся по формулам:

, ,

и денормированные значения элементов схемы - с помощью:

,

, ,

, ,

, .

5. Расчёт частотных характеристик фильтра

С помощью расчёта частотных характеристик фильтра проверяется соответствие фильтра техническим требованиям:

1. Рабочее ослабление в ПП не должно превышать заданной величины :

2. Рабочее ослабление в ПН не должно быть ниже заданного значения :

3. Рабочая фаза B(f) позволяет судить о выполнении требований к её линейности в пределах ПП.

Выполним расчёт частотных характеристик A(f) и B(f) по аппроксимированной функции T(p). Построим графики А(f) и B(f) ФНЧ.

;

Рис. 4. Зависимость рабочего ослабления ФНЧ от частоты в ПП.

(, ), (), .

Рис. 5. Зависимость рабочей фазы ФНЧ от частоты.

,

Проверка технических требований по графикам зависимостей рабочего ослабления и рабочей фазы подтверждает соответствие аппроксимированной передаточной функции Т(р) техническому заданию. Это свидетельствует о правильности выполнения этапа аппроксимации.

6. Расчёт характеристик фильтра на ЭВМ

Наиболее полной проверкой правильности расчета спроектированного фильтра является расчет частотных зависимостей А(f) и В(f) по передаточной функции Т(j), выраженной через элементы фильтра. Фильтр представляет собой реактивный четырехполюсник лестничной структуры. С учетом источника сигнала с внутренним сопротивлением R1 и сопротивления нагрузки R2 полная схема имеет вид, представленный на рис.11.

Рис. 6. Представление фильтра в виде четырёхполюсника с лестничной структурой.

1. Расчёт частотных характеристик фильтра

Рабочая передаточная функция такой схемы может быть определена следующим образом:

, ,

где

Или

,

где - комплексная частота.

.

Для спроектированного ФНЧ континуант имеет вид:

Рабочее ослабление и рабочая фаза фильтра рассчитываются по формулам:

, .

Построим графики зависимости рабочего ослабления от частоты и зависимости рабочей фазы от частоты.

Рис. 7. Зависимость рабочего ослабления от частоты и в ПП.

(, ), (), .

Рис. 8. Зависимость рабочей фазы от частоты в ПП.

Построенные графики подтверждают то, что спроектированный ФНЧ Чебышева удовлетворяет техническим требованиям, так как рабочее ослабление в ПП не превышает , а в ПН больше минимально допустимого значения ; рабочая фаза возрастает с увеличением частоты в ПП по нелинейному закону, причиной которого являются фазо-частотные искажения, возникающие в электрической цепи, содержащей реактивные элементы.

2. Расчёт временных характеристик фильтра

Рассчитаем спектр последовательности импульсов на входе фильтра.

Рис. 14. Последовательность импульсов на входе фильтра

- амплитуда импульсов;

- частота следования импульсов;

- скважность импульсов;

- длительность импульса.

Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов вычислим по формуле:

Построим амплитудный спектр прямоугольных импульсов на входе фильтра.

Рис. 8. Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов.

Фазовый спектр последовательности прямоугольных импульсов при выборе начала координат в середине импульса вычислим по формуле:

Построим фазовый спектр ППИ на входе фильтра.

Рис. 9. Фазовый спектр последовательности прямоугольных импульсов.

Амплитудный спектр сигнала на выходе фильтра вычислим по формуле:

.

Построим амплитудный спектр сигнала на выходе фильтра.

Рис. 10. Амплитудный спектр на выходе фильтра.

Фазовый спектр сигнала на выходе фильтра вычислим по формуле:

.

Построим фазовый спектр сигнала на выходе фильтра.

Рис. 11. Фазовый спектр сигнала на выходе фильтра.

Напряжение сигнала на входе фильтра вычислим по формуле:

.

Напряжение сигнала на выходе фильтра вычислим по формуле:

,

где - постоянная составляющая.

Построим графики напряжений сигнала на входе и выходе фильтра.

Рис. 12. Графики напряжений на входе фильтра U1(t) и на выходе U2(t).

Рассчитаем переходную характеристику

Для вычисления переходной характеристики используем обратное преобразование Лапласа выражения

.

Построим график переходной характеристики по напряжению.

Рис. 13. Переходная характеристика по напряжению.

Выполним расчёт отклика фильтра U(t) на воздействие в виде прямоугольного импульса.

Используя интеграл Дюамеля, выполним расчёт отклика фильтра U(t) на воздействие в виде прямоугольного импульса с амплитудой 1В и длительностью импульса

.

Построим график расчёта отклика фильтра U(t) на воздействие в виде прямоугольного импульса.

Рис. 14. Расчёт отклика фильтра U(t) на воздействие в виде прямоугольного импульса.

Из графика (рис. 14.) видно, что отклик фильтра на последовательность прямоугольных импульсов U(t) носит затухающий характер, а для одиночного прямоугольного импульса U2(t-tu/2) - отклик описывает гармонические колебания равной амплитуды, имеющей небольшие искажения.

Вывод

В данной курсовой работе был произведён синтез фильтра нижних частот, используя при этом аппроксимацию по Чебышеву и метод реализации схемы фильтра по Дарлингтону. На этапе аппроксимации был построен график зависимости рабочего ослабления от частоты. Из этого графика делаем вывод, что спроектированный фильтр удовлетворяет техническим требованиям, так как в ПП рабочее ослабление не превышает , а в ПН превышает минимально допустимое значение рабочего ослабления.

При аналитическом расчёте частотных характеристик фильтра был построен график зависимости рабочей фазы от частоты в ПП. Рабочая фаза с увеличением частоты монотонно возрастает по нелинейному закону, причиной которого являются фазо-частотные искажения, возникающие в электрической цепи, содержащей реактивные элементы.

На ЭВМ были получены переходная характеристика, спектры сигналов на входе и выходе фильтра и реакция фильтра на последовательность прямоугольных импульсов.

Список литературы

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей, 2000 г.

2. Попов П.А. Ускоренный синтез симметричного реактивного четырехполюсника, 1974 г.

3. Ханзел Г. Справочник по расчету фильтров, 1974 г.

4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи, 1999 г.

5. Соколов В.Ф., Клиентова Т.Г., Членова Е.Д. Расчет фильтров по рабочим параметрам. Методическая разработка к курсовой работе, 1992 г.

Оглавление

  • 1. Задание к курсовой работе
  • 2. Постановка задачи синтеза электрического фильтра
  • 3. Переход к ФНЧ - прототипу и нормирование по частоте
  • Делись добром ;)