Субмикронные полевые транзисторы с барьером Шоттки

отчет по практике

1.4 Методы математического моделирования кинетических процессов

Исходными посылками при моделировании электронных процессов в полупроводнике является представление о электронах как частицах с заданным соотношением между энергией и волновым вектором .

В фазовом пространстве движение каждой частицы в электрическом поле может быть представлено движущейся точкой и описывается уравнениями:

, (1.4.1)

, (1.4.2)

где скорость, напряженность электрического поля, - заряд электрона.

Распределение электронов в фазовом пространстве описывается функцией распределение . Эволюция функции распределения в результате рассеяния, наличия потока электронов в пространстве, определяется путем решения кинетического уравнения Больцмана:

. (1.4.3)

Зная функцию распределения можно определить все основные параметры: плотность электронов проводимости, плотность тока, плотность и поток кинетической энергии. Среди методов решения кинетического уравнения Больцмана наибольшее распространения получил метод Монте-Карло.

Метод Монте-Карло состоит в непосредственном моделировании на ЭВМ движения электронов в ускоряющем электрическом поле и их рассеяния на фононах и дефектах кристаллической решетки. При этом рассчитываются и усредняются траектории движения большого числа электронов. В зависимости от требуемой точности для расчета по функции распределения средних значений (концентраций, энергий, скоростей) необходимо от нескольких тысяч до десятков тысяч статистических испытаний, что предполагает значительные затраты счетного времени.

Среди методов решения кинетического уравнения известен также итерационный метод Риса, основанный на определении статических функций распределения поля при заданной величине электрического поля путем решения интегрального уравнения, эквивалентного интегро-дифференциальному кинетическому уравнению. Однако сложность метода Риса и отсутствие той физической наглядности, которая присуща методу Монте-Карло, привели к тому, что метод Риса мало используется сейчас.

Метод Монте-Карло, как и метод Риса, имеет смысл применять при уменьшении размеров приборов до субмикронных величин, при снижении рабочих температур до азотных и более, при работе на предельных частотах, в условиях существенной неравновесности полупроводниковой плазмы.

В случае, если электроны обмениваются энергией путем электрон-электронных столкновений быстрее, чем теряют ее за счет электрон-фононного рассеяния, симметричная часть функции распределения становится максвелловской с эффективной электронной температурой Те:

. (1.4.4)

При еще более высокой концентрации электронов межэлектронные столкновения перераспределяют и энергии, и импульсы, приводя к так называемой смещенной максвелловской функции распределения:

, (1.4.5)

где импульс дрейфа. При использовании этой функции можно получить феноменологические уравнения переноса для каждой из долин путем усреднения кинетического уравнения по концентрации, импульсу и энергии.

Поскольку усредняемые величины, как правило, слабо зависят от энергии, то форма функции распределения при неизменности положения ее максимума мало сказываемся на значении усредненных величин.

Температурные модели предполагают, что температура носителей в верхних и нижней долинах различна и оправданы физически. Успех применения температурных моделей объясняется прежде всего тем, что экспериментально измеряемые параметры образца определяются не самой функцией распределения, а макроскопическими величинами (средними величинами концентрации носителей, дрейфовой скорости и энергии носителей). Температурные модели могут использоваться для инженерных расчетов приборов, работающих в миллиметровом диапазоне (они умеренно трудоемки и достаточно точны), однако, чтобы это приближение можно было применить, среднее время между электрон-электронными столкновениями должно быть гораздо меньше, чем время релаксации по импульсу. Если число электронов в зоне проводимости определяется концентрацией ионизованных доноров, такая ситуация реализоваться не может и, следовательно, смещенная функция распределения Максвелла может рассматриваться лишь в качестве грубого приближения. Кроме того, экспериментальные данные и теоретические расчеты указывают на неприменимость концепции эффективной электронной температуры для коротких образцов.

Метод моделирования Монте-Карло стал важным методом моделирования полупроводниковых приборов. Этот метод эквивалентен точному решению уравнения Больцмана.

Для описания электронного переноса весьма полезными оказываются менее точные, но более простые аналитические модели, которые могут помочь лучше понять физику приборов. Среди таких моделей можно выделить локально - полевую модель, в которой все основные величины локально зависят от электрического поля. Плотность дрейфового и электронного токов в этой модели равны:

, (1.4.6)

, (1.4.7)

где ,, , - дрейфовые скорости и коэффициенты диффузий соответственно электронов и дырок.

Уравнения в этой модели не выводятся из уравнения Больцмана. На высоких частотах, сравнимых с обратным временем энергетической релаксации (которое для электронов в центральном минимуме зоны проводимости арсенида галлия по порядку величины близко к 2 пс), скорость и диффузия не следуют мгновенно за изменениями электрического поля. Поэтому эффективная дифференциальная подвижность, например, оказывается частотно-зависимой, и уравнения (1.16) и (1.17) неприменимы.

Делись добром ;)