Математическое описание динамики системы

Для того, чтобы иметь возможность выполнять все необходимые расчеты, прежде всего, нужно найти передаточные функции всех элементов системы, отражающие в динамике математическую зависимость между их входными и выходными величинами.

Электронный усилитель

Входной величиной электронного усилителя является напряжение рассогласования U₂ , а выходной - напряжение U_у. Переходные процессы, происходящие в электронных усилителях, гораздо быстрее, чем в ЭМУ, генераторе и двигателе, поэтому ими можно пренебречь. Таким образом, пренебрегая инерционностью усилителя (то есть влиянием резистора R_у и индуктивностью катушки L_у) и считая его линейным, получим его передаточную функцию:

W_ус(p) = K_ус.

Электромашинный усилитель.

Входной величиной ЭМУ является напряжение на обмотках катушки управления Uy, а выходной напряжение на «щётках» ЭМУ (ЭДС) Eэмy.

Рис. 2. К определению передаточной функции ЭМУ.

Под действием напряжения Uу возникает ток , который в катушке порождает магнитный поток . Этот поток наводит в обмотках якоря ЭДС индукции. В короткозамкнутой цепи ЭМУ протекает ток , вызывая поток , действующий на вторичную обмотку ЭМУ. Поскольку ЭМУ - усилитель двухкаскадный, (t) = f(,) и = (коэффициент усиления по току управляющей цепи) для первого каскада, а (t)=f(,) и = - соответственно для второго каскада (коэффициент усиления по току короткозамкнутой цепи)[2].

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для цепи управления и поперечной короткозамкнутой цепи:

;

Э.Д.С. вращения поперечной цепи якоря равна:

; (1)

А Э.Д.С. продольной цепи равна:

; (2)

Из (2) найдем, что:

;

Подставив полученное значение тока в (1) получим:

;

Из последнего выражения с учетом выражения (1) получим значение тока управляющих обмоток:

;

Запишем теперь уравнение связывающее между собой величины Uy и Eэму:

;

Вынесем за скобки множитель и разделим на него правую и левую часть полученного выражения:

;

коэффициент передачи ЭМУ;

постоянная времени управляющей цепи;

постоянная времени короткозамкнутой цепи.

;

Применим преобразование Лапласа с нулевыми начальными условиями и запишем передаточную функцию ЭМУ:

;

;

Генератор.

Генератор выступает как усилительный элемент: он усиливает мощность сигнала, который приходит на его вход.

Рис. 3. К определению передаточной функции генератора.

Входной величиной генератора является напряжение на обмотках катушки возбуждения Eэму (ЭДС ЭМУ), а выходной напряжение на «щётках» генератора (входное напряжение якорной цепи). Обмотка возбуждения - это проволока с большим количеством витков; если по ней течёт ток, то возникает магнитное поле, и якорь начинает крутиться, в результате чего в нём возникает ЭДС и появляется напряжение : чем оно больше, тем быстрее вращается якорь. Генератор работает только при Eэму>0.

Запишем уравнение для цепи возбуждения генератора:

, (3)

где и индуктивность и сопротивление цепи возбуждения.

Поскольку поток возбуждения (t)= (t), а (t)= = (t), то (t)= , подставим это выражение в (3) и в полученном уравнении перенесём и множитель в правую часть этого уравнения:

;

Для более простого вывода передаточной функции генератора будем считать, что генератор работает в режиме «холостого хода», а значит, можем принять равными величины и . Также выразим коэффициент передачи генератора: = .

Применим преобразование Лапласа с нулевыми начальными условиями к выражению:

.

Запишем передаточную функцию для генератора:

;

 постоянная времени цепи генератора.

Двигатель.

Рис. 4. К определению передаточной функции двигателя.

В [1] на стр. 11 в качестве примера рассматривается определение передаточной функции электродвигателя в системе регулирования его скорости:

Интересующая нас выходная величина двигателя это его скорость , а внешние (входные) воздействия - это, с одной стороны, электродвижущая сила Eэму, наводимая в главной обмотке якоря ЭМУ (Rя и Lя - суммарные активное сопротивление и индуктивность обмоток якоря ЭМУ и двигателя), с другой - момент нагрузки на валу , являющийся возмущающим воздействием. Поэтому для описания динамики двигателя нужно связать дифференциальным уравнением скорость двигателя с электродвижущей силой ЭМУ и моментом нагрузки .

По второму закону Кирхгофа уравнение электрического равновесия для цепи якоря:

,

где - напряжение самоиндукции

- падение напряжения на активном сопротивлении обмотки якоря

- противо-ЭДС, возникающая в обмотке якоря двигателя при вращении.

Момент вращения, развиваемый двигателем на валу, преодолевает момент нагрузки и инерцию вращающихся частей. Тогда уравнение равновесия моментов на валу двигателя:

,

где - приведенный к валу двигателя момент инерции всех вращающихся частей.

Противо-ЭДС пропорциональна скорости вращения якоря:

;

А момент вращения якоря пропорционален току якоря:

;

Из уравнения равновесия моментов на валу двигателя и выражения для момента вращения якоря найдем ток якоря:

Подставляя полученное для тока якоря выражение и выражение для противо-ЭДС в уравнение электрического равновесия для цепи якоря, получим:

Или

Применим преобразование Лапласа с нулевыми начальными условиями:

,

где- постоянная времени якорной цепи

- электромеханическая постоянная двигателя

- коэффициент передачи двигателя по управляющему воздействию

- коэффициент передачи двигателя по возмущающему воздействию

Находим теперь из полученного уравнения передаточные функции двигателя по управляющему воздействию:

;

И по возмущающему воздействию:

;

В двигателях малой и средней мощности электромагнитные переходные процессы заканчиваются значительно быстрее механических вследствие малой величины Tя. Пренебрегая постоянной времени Tя по сравнению с Tд, получаем упрощенные передаточные функции двигателя упрощенные передаточные функции двигателя по управляющему воздействию:

;

И по возмущающему воздействию:

;

Тахогенератор.

Рис. 5. К определению передаточной функции тахогенератора.

Тахогенераторы часто работают в переходных режимах, при непрерывном изменении как входного (угол поворота или частота вращения), так и выходного (ЭДС якоря) параметров. Процессы, происходящие в тахогенераторе в неустановившихся режимах, описываются дифференциальными уравнениями. Если пренебречь размагничивающим действием реакции якоря, то уравнение переходного процесса тахогенератора примет вид:

,

где ;

- угол поворота вала тахогенератора;

- угловая скорость вала тахогенератора.

Так как на выходе тахогенератора включено сопротивление усилителя, которое можно представить в виде резистора сопротивлением , то ток якоря:

,

а производная тока:

.

Подставив эти два уравнения для тока и его производной, а также значение ЭДС в уравнение для переходного процесса тахогенератора, после несложных преобразований получим:

;

,

где - постоянная времени якорной цепи;

- коэффициент передачи тахогенератора при нагрузке.

Изображение по Лапласу ( при нулевых начальных условиях) для последнего полученного уравнения имеет вид:

,

следовательно, передаточная функция тахогенератора:

.

Поскольку нагрузкой тахогенератора (ТГ) является вход электронного усилителя, сопротивление которого, как правило, велико, постоянная времени ТГ оказывается достаточно малой по сравнению с постоянными времени остальных элементов. Поэтому (пренебрегаем инерционностью), то передаточная функция ТГ примет такой окончательный вид:

.

Установив передаточные функции всех элементов, входящих в систему авторегулирования, можно составить математическое описание всей системы. Удобнее всего представить его в виде структурной схемы, которая строится, исходя из функциональной схемы и полученных передаточных функций элементов системы. Данная структурная схема представлена на рис. 6.

Рис. 6. Структурная схема системы регулирования скорости двигателя.

Приведем представленную структурную схему к типовому виду. Для этого необходимо, чтобы: обратная связь должна быть единичной, входная величина должна быть такой же физической природы, что и выходная, и перед контуром обратной связи не должно быть звеньев.

Воспользовавшись структурными преобразованиями, вынесем К_ТГ из ветви обратной связи:

Рис. 7. Структурная схема САУ с единичной обратной связью.

Если мы отбросим звено, стоящее перед контуром обратной связи, считая входным воздействием некое щ_ЗАД, а также отбросим звено после M_н , считая возмущающим воздействием щ_н (добавка скорости со стороны нагрузки), мы получим типовую структурную схему САУ:

Рис. 8. Типовая структурная схема САУ.

Передаточная функция разомкнутой нескорректированной САУ принимает такой вид:

.