Движение электрона в скрещенных полях. Управление с помощью магнитной оптики

курсовая работа

1. Движение электрона в скрещенных полях

Под скрещенными полями будем понимать наложенные друг на друга электрические и магнитные поля, перпендикулярные друг другу во всех точках континуального пространства.

К первому типу скрещенных полей отнесём случай, когда оба поля однородны и их векторы взаимно перпендикулярны.

Второй тип скрещенных полей состоит из однородного магнитного поля и электрического поля, обладающего осевой симметрией. Такое электрическое поле образуется в зазоре между коаксиальными цилиндрами.

На рис. 1. показана траектория движения электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях.

Рис. 1. Движение электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях

Начальные условия запишем в виде:

В скрещенных полях на электрон действуют силы F, определяемые соотношением:

= (1)

и тогда электрон движется с ускорением:

(2)

В декартовой системе координат ускорение можно записать:

(3)

где единичные векторы.

Аналогично:

(4)

, (5)

(6)

Уравнение (2) можно переписать в виде:

(7)

где

Тогда эта система уравнений (7) примет вид:

(8)

где циклотронная частота.

(9)

(10)

Решение уравнения (10) запишем в виде:

а это означает, что вдоль оси электрон движется прямолинейно и равномерно.

Уравнение (10) проинтегрируем (подобно тому, как уже интегрировали до этого):

(11)

Подставим (11) в (7) и получим:

(12)

Перепишем уравнение (12) в виде:

где

Это выражение - известное уравнение колебаний с правой частью, решение которого является функция:

(13)

где амплитуда колебаний, а величина является начальной фазой.

Для рассматриваемого случая решение запишем в виде:

(14)

Анализ этого решения показывает, что смещение по оси имеет постоянную составляющую, которая зависит как от электрического, так и от магнитного полей, а переменная составляющая - это колебания, частота которых зависит от магнитного поля.

Скорость по оси периодически изменяется

(15)

Решая совместно уравнения (14) и (15) при имеем:

или . (16)

Возведя в квадрат и сложив оба уравнения, получим:

= или .

Разделив уравнения (16) одно на другое, имеем:

(17)

Таким образом, мы получили амплитуду и начальную фазу колебательного уравнения. Теперь решим совместно уравнения (8) и (10):

Проинтегрируем уравнение (10) и, воспользовавшись соотношением (13), получим:

Проинтегрировав это уравнение, получим выражение для траектории электрона по оси:

Константа находится из начальных условий:

при

или

Тогда

Выпишем окончательные выражения для траектории электронов по координатам в систему параметрических уравнений:

(18)

(19)

(3.55)

Для определения траектории по координатам и исключим параметр . Итак, при

(20)

Это выражение - уравнение окружности с радиусом и координатами центра, которые описываются следующим образом:

(21)

Анализ показывает, что траектория движения электронов в плоскости представляет собой окружность с центром, которая равномерно смещается по оси и одновременно перпендикулярна полям

Скорость смещения определяется таким образом:

(22)

Графически проекция траектории на плоскость которая перпендикулярна магнитному полю, изображена на рис. 2.

Эта кривая напоминает циклоиду - кривую, описываемую какой-либо точкой колеса, катящегося без скольжения. В нашем случае траектория имеет вид удлинённой циклоиды, радиус которой зависит от напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля.

Рис. 2. Проекция траектории электрона, движущегося в скрещенных полях.

При смене знака напряжённости траектория движения также меняет знак. Параметры циклоиды можно изменять путём варьирования значений

Циклоида может превратиться в прямую линию, если в направлении начальная скорость отсутствует, а начальная скорость в отрицательном направлении по осиравна скорости сноса.

Другими словами, если сила Лоренца и электростатическая силы равны, то смещение в направлении будет отсутствовать.

Делись добром ;)