Движение электрона в скрещенных полях. Управление с помощью магнитной оптики
1. Движение электрона в скрещенных полях
Под скрещенными полями будем понимать наложенные друг на друга электрические и магнитные поля, перпендикулярные друг другу во всех точках континуального пространства.
К первому типу скрещенных полей отнесём случай, когда оба поля однородны и их векторы взаимно перпендикулярны.
Второй тип скрещенных полей состоит из однородного магнитного поля и электрического поля, обладающего осевой симметрией. Такое электрическое поле образуется в зазоре между коаксиальными цилиндрами.
На рис. 1. показана траектория движения электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях.
Рис. 1. Движение электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях
Начальные условия запишем в виде:
В скрещенных полях на электрон действуют силы F, определяемые соотношением:
= (1)
и тогда электрон движется с ускорением:
(2)
В декартовой системе координат ускорение можно записать:
(3)
где единичные векторы.
Аналогично:
(4)
, (5)
(6)
Уравнение (2) можно переписать в виде:
(7)
где
Тогда эта система уравнений (7) примет вид:
(8)
где циклотронная частота.
(9)
(10)
Решение уравнения (10) запишем в виде:
а это означает, что вдоль оси электрон движется прямолинейно и равномерно.
Уравнение (10) проинтегрируем (подобно тому, как уже интегрировали до этого):
(11)
Подставим (11) в (7) и получим:
(12)
Перепишем уравнение (12) в виде:
где
Это выражение - известное уравнение колебаний с правой частью, решение которого является функция:
(13)
где амплитуда колебаний, а величина является начальной фазой.
Для рассматриваемого случая решение запишем в виде:
(14)
Анализ этого решения показывает, что смещение по оси имеет постоянную составляющую, которая зависит как от электрического, так и от магнитного полей, а переменная составляющая - это колебания, частота которых зависит от магнитного поля.
Скорость по оси периодически изменяется
(15)
Решая совместно уравнения (14) и (15) при имеем:
или . (16)
Возведя в квадрат и сложив оба уравнения, получим:
= или .
Разделив уравнения (16) одно на другое, имеем:
(17)
Таким образом, мы получили амплитуду и начальную фазу колебательного уравнения. Теперь решим совместно уравнения (8) и (10):
Проинтегрируем уравнение (10) и, воспользовавшись соотношением (13), получим:
Проинтегрировав это уравнение, получим выражение для траектории электрона по оси:
Константа находится из начальных условий:
при
или
Тогда
Выпишем окончательные выражения для траектории электронов по координатам в систему параметрических уравнений:
(18)
(19)
(3.55)
Для определения траектории по координатам и исключим параметр . Итак, при
(20)
Это выражение - уравнение окружности с радиусом и координатами центра, которые описываются следующим образом:
(21)
Анализ показывает, что траектория движения электронов в плоскости представляет собой окружность с центром, которая равномерно смещается по оси и одновременно перпендикулярна полям
Скорость смещения определяется таким образом:
(22)
Графически проекция траектории на плоскость которая перпендикулярна магнитному полю, изображена на рис. 2.
Эта кривая напоминает циклоиду - кривую, описываемую какой-либо точкой колеса, катящегося без скольжения. В нашем случае траектория имеет вид удлинённой циклоиды, радиус которой зависит от напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля.
Рис. 2. Проекция траектории электрона, движущегося в скрещенных полях.
При смене знака напряжённости траектория движения также меняет знак. Параметры циклоиды можно изменять путём варьирования значений
Циклоида может превратиться в прямую линию, если в направлении начальная скорость отсутствует, а начальная скорость в отрицательном направлении по осиравна скорости сноса.
Другими словами, если сила Лоренца и электростатическая силы равны, то смещение в направлении будет отсутствовать.