Дискретизация и частотное разрешение
1. Число параметров или степеней свободы сигнала
Рассмотрим математические методы анализа дискретизированных сигналов и связь этих методов.
Рассмотрим теперь следующую задачу: пусть функция времениимеет спектр, не содержащий частот выше предельной верхней границы , а сама функция отлична от нуля на промежутке от 0 до. Возникает вопрос - какое число параметров (или число степеней свободы) требуется для определения такой функции?
Докажем, что имеется только независимых параметров для такой функции, и обсудим различные возможные способы выбора этих параметров, а также некоторые общие свойства таких функций.
(1)
Прежде всего, следует отметить, что функция не является полностью определенной, если мы ограничиваемся заданием её значений только на интервале .
Существуют два различных способа доопределения функции, не вносящих дополнительной информации в функцию:
A. Периодическая функция, поведение которой на промежутке от 0 до повторяется за пределами этого промежутка бесконечное число раз:
(2)
B. Функция одиночного сообщения, поведение которой удовлетворяет условию:
(3)
Последний случай был рассмотрен Шенноном в методе дискретизации.
Начнем рассмотрение с первого случая и исследуем периодическую функцию с периодом . Разложение такой периодической функции в ряде Фурье имеет вид:
(4)
где
(5)
Будем полагать, что максимум частоты точно соответствует одной из гармоник :
(6)
Ряд Фурье содержит конечное число слагаемых до целого . Для каждой определенной частоты мы имеем две компоненты и следовательно полное число компонент определяется равенством:
(7)
включая постоянное слагаемое . Если продолжительность сигнала достаточно велика, то формула (7) практически сводится к (1). При этом коэффициенты представляют один из возможных вариантов выбора параметров.
Вместо действительного ряда Фурье (4) можно использовать комплексный ряд Фурье, как в уравнениях (1) и (2):
(8)
где звездочка снова означает комплексно-сопряженное.
Вместо рядов Фурье, можно воспользоваться методом дискретизации периодической функции. Выберем эквидистантных точек дискретизации в пределах одного периода , например:
(9)
где
Введем обозначения для дискретных значений функции f:
(10)
в соответствии с условием периодичности (2).
дискретизация частотное разрешение сигнал
Исходную функцию можно восстановить если известны её дискретных значений в пределах одного периода . Представим в виде:
(11)
гдеявляется импульсной функцией времени, центрированной на моменте времени и повторяющейся с периодичностью . Для такой импульсной функции выберем следующее определение:
Используемая импульсная функция является нулевой для всех других точек дискретизации в пределах одного периода . Такую функцию с ограниченным частотным спектром, не превышающим , можнопостроитьвоспользовавшись тождеством Лагранжа:
(12)
где .
Эта функция равна при , когда знаменатель равен нулю. Она осциллирует и обращается в нуль в точках
пока не является кратным .
Для импульсной функциивоспользуемся выражением:
(13)
Сравнивая теперь выражения (11), (13) и (8) мы получаем:
и следовательно
(14)
т.е. выражение, которое напрямую связывает коэффициенты Фурье с дискретными значениями . Обратное соотношение получается из (8) и имеет вид:
(15)