Дискретизация и частотное разрешение

реферат

1. Число параметров или степеней свободы сигнала

Рассмотрим математические методы анализа дискретизированных сигналов и связь этих методов.

Рассмотрим теперь следующую задачу: пусть функция времениимеет спектр, не содержащий частот выше предельной верхней границы , а сама функция отлична от нуля на промежутке от 0 до. Возникает вопрос - какое число параметров (или число степеней свободы) требуется для определения такой функции?

Докажем, что имеется только независимых параметров для такой функции, и обсудим различные возможные способы выбора этих параметров, а также некоторые общие свойства таких функций.

(1)

Прежде всего, следует отметить, что функция не является полностью определенной, если мы ограничиваемся заданием её значений только на интервале .

Существуют два различных способа доопределения функции, не вносящих дополнительной информации в функцию:

A. Периодическая функция, поведение которой на промежутке от 0 до повторяется за пределами этого промежутка бесконечное число раз:

(2)

B. Функция одиночного сообщения, поведение которой удовлетворяет условию:

(3)

Последний случай был рассмотрен Шенноном в методе дискретизации.

Начнем рассмотрение с первого случая и исследуем периодическую функцию с периодом . Разложение такой периодической функции в ряде Фурье имеет вид:

(4)

где

(5)

Будем полагать, что максимум частоты точно соответствует одной из гармоник :

(6)

Ряд Фурье содержит конечное число слагаемых до целого . Для каждой определенной частоты мы имеем две компоненты и следовательно полное число компонент определяется равенством:

(7)

включая постоянное слагаемое . Если продолжительность сигнала достаточно велика, то формула (7) практически сводится к (1). При этом коэффициенты представляют один из возможных вариантов выбора параметров.

Вместо действительного ряда Фурье (4) можно использовать комплексный ряд Фурье, как в уравнениях (1) и (2):

(8)

где звездочка снова означает комплексно-сопряженное.

Вместо рядов Фурье, можно воспользоваться методом дискретизации периодической функции. Выберем эквидистантных точек дискретизации в пределах одного периода , например:

(9)

где

Введем обозначения для дискретных значений функции f:

(10)

в соответствии с условием периодичности (2).

дискретизация частотное разрешение сигнал

Исходную функцию можно восстановить если известны её дискретных значений в пределах одного периода . Представим в виде:

(11)

гдеявляется импульсной функцией времени, центрированной на моменте времени и повторяющейся с периодичностью . Для такой импульсной функции выберем следующее определение:

Используемая импульсная функция является нулевой для всех других точек дискретизации в пределах одного периода . Такую функцию с ограниченным частотным спектром, не превышающим , можнопостроитьвоспользовавшись тождеством Лагранжа:

(12)

где .

Эта функция равна при , когда знаменатель равен нулю. Она осциллирует и обращается в нуль в точках

пока не является кратным .

Для импульсной функциивоспользуемся выражением:

(13)

Сравнивая теперь выражения (11), (13) и (8) мы получаем:

и следовательно

(14)

т.е. выражение, которое напрямую связывает коэффициенты Фурье с дискретными значениями . Обратное соотношение получается из (8) и имеет вид:

(15)

Делись добром ;)