Задание 2. Исследование качества переходных процессов САУ

Для САУ в соответствии с вариантом задания построить переходную характеристику замкнутой системы и определить следующие параметры качества:

1. величину перерегулирования;

2. время переходного процесса;

3. статическую ошибку;

4. время регулирования;

5. коэффициент ошибки по положению;

6. коэффициент ошибки по скорости;

7. коэффициент ошибки по ускорению;

8. интегральные оценки качества.

1. Построение переходной функции табличным методом

Исследовав систему в замкнутом состоянии, мы пришли к выводу, что она неустойчива. Внеся некоторые изменения, мы перешли к устойчивой системе:

Корни характеристического уравнения:

-1.5821

-0.4424

-0.0865 + 0.1782i

-0.0865 - 0.1782i

Изображение переходной функции можно представить в виде:

; (2.1.2)

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и приравняем числитель этого выражения к числителю исходного изображения переходной функции. Приравняв члены при одинаковых степенях оператора p в правой и левой частях, получим систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов.

Методом подстановок найдем решение данной системы:

A=0, B= - 27.8099, C= 27.8099, D= 44.059, E= 106.62.

Подставим в Н(р):

Полученные слагаемые переходной функции являются табличными. Подставив численные значения параметров и использовав таблицы преобразования Лапласа, получим выражение для переходной функции.

2. Показатели качества САУ

Рисунок 2.2.1- Переходная функция.

Величина перерегулирования:

= ; (2.2.1)

Время переходного процесса или время регулирования: tp = 45.

Статическая ошибка есm- величина отклонения установившегося значения регулируемой величины x(?) от требуемого значенияN.

 = 1 - 0,454= 0,546 (2.2.2)

3. Коэффициенты ошибок

Точность САУ в установившемся режиме, при относительно медленно изменяющихся воздействиях, может быть оценена с помощью коэффициентов ошибок. Изображение ошибки определяется выражением

, где - передаточная функция по ошибке.

Коэффициентов ошибок:

K0 - коэффициент ошибки по положению;

K1- коэффициент ошибки по скорости;

K2 - коэффициент ошибки по ускорению и т.д.

Найдём коэффициенты ошибок:

1. коэффициент ошибки по положению:

2. коэффициент ошибки по скорости:

3. коэффициент ошибки по ускорению:

Наша система статическая, т.е.=0, и существуют все составляющие ошибки и все коэффициенты ошибок не равны нулю, т.к.

4. Интегральные оценки качества

Интегральные оценки характеризуют качество протекания переходных процессов. Наибольшее распространение получили две интегральные оценки.

Интеграл J0 определяет площадь под кривой квадрата динамической ошибки. Чем меньше этот интеграл, тем быстрее затухает переходный процесс и, следовательно, интеграл J0 служит мерой быстродействия системы. В ряде случаев система, удовлетворяющая условию минимума J0,имеетзначительнуюколебательность переходного процесса.

(2.4.1)

При подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия начальное значение ошибки е(0)=1 и можно рекомендовать следующую методику выбора величины постоянной времени .

1) выберем из каких - либо соображений время регулирования tp и величину , по уровню которой выбирается это время, т.е.;

2) определим логарифм натуральный от полученного выражения , и получим .

Недостатками интегральных оценок являются невозможность получения прямых показателей качества и высокая сложность вычислительных процедур. Достоинство - это возможность выразить интегральные оценки как функции параметров системы и, воспользовавшись известными методами поиска экстремума, определить значения этих параметров, дающие минимум избранной оценке. Именно это и послужило развитию аналитических методов синтеза систем автоматического управления, основанных на минимизации квадратичных интегральных оценок.

Задание 3. Моделирование САУ

Создадим LTI-объект с именем w, для этого выполним команду:

>> w=tf([291.6 169.3 32.08 1.994],[160 351.6 174.3 32.08 4.394])

Transfer function:

291.6 s^3 + 169.3 s^2 + 32.08 s + 1.994

-------------------------------------------------

160 s^4 + 351.6 s^3 + 174.3 s^2 + 32.08 s + 4.394

Найдём полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero.

>> pole(w)

ans =

-1.5821

-0.4424

-0.0865 + 0.1782i

-0.0865 - 0.1782i

>> zero(w)

ans =

-0.2495

-0.1655 + 0.0018i

-0.1655 - 0.0018i

Построим переходную функцию командой step(w). Результат её выполнения на рисунке 3.1.

>>step(w)

Рисунок 3.1 - Переходная функция h(t).

Построим импульсную переходную функцию командой impulse(w). Результат показан на рисунке 3.2.

>>impulse(w)

Рисунок 3.2 - Импульсная переходная функция.

Диаграмму Боде получим, используя команду bode(w) - рисунок 4.3.

>>bode(w)

Рисунок 3.3 - Логарифмические частотные характеристики.

>>nyquist(w)

Рисунок 3.4 - Частотный годограф.