Автоматизация процесса измельчения зерна

4.2 Анализ устойчивости системы

Устойчивость системы - ее способность восстанавливать состояние равновесия после прекращения внешнего воздействия.

Для определения устойчивости САР существуют специальные признаки - критерии устойчивости.

Алгебраический критерий (критерий Гурвица)

Данный критерий основан на анализе коэффициентов характеристического уравнения замкнутой САР

(17)

Согласно критерию Гурвица САР будет устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения n-го порядка положительны и все определители Гурвица до (n-1)-го порядка больше нуля.

, , (18)

(19)

Так как при а₀>0, то САР устойчива.

Частотный критерий (критерий Найквиста)

Этот критерий позволяет определить устойчивость замкнутой САР, используя амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) разомкнутой САР.

Путем формальной замены в выражении разомкнутой системы р на jw, то получим выражение для АФХ разомкнутой САР.

(20)

На комплексной плоскости, изменяя частоты щ от 0 до ?, строим годограф. Согласно критерию Найквиста замкнутая САР будет устойчива, если годограф АФХ разомкнутой системы на комплексной плоскости не охватывает точку с координатами (-1,j0).

"right">Таблица 2

Значения вещественной и мнимой части

W	Re	Im
0	140	0
0,01	139,9816	-1,959792258
0,02	139,9263	-3,918338498
0,03	139,8342	-5,874394864
0,04	139,7054	-7,826721822
0,05	139,54	-9,774086301
0,06	139,3383	-11,71526381
0,07	139,1004	-13,64904052
0,08	138,8266	-15,57421534
0,09	138,5173	-17,48960191
0,1	138,1726	-19,39403055
0,11	137,793	-21,28635017
0,12	137,3789	-23,16543015
0,13	136,9307	-25,03016203
0,14	136,4489	-26,87946129
0,15	135,934	-28,71226893
0,16	135,3866	-30,527553
0,17	134,8071	-32,32431007
0,18	134,1962	-34,10156661
0,19	133,5546	-35,8583802
0,2	132,8827	-37,59384075
0,21	132,1814	-39,30707156
0,22	131,4513	-40,99723031
0,23	130,6931	-42,66350987
0,24	129,9075	-44,30513917
0,25	129,0953	-45,92138379
0,3	124,6627	-53,59876267
0,4	114,2678	-66,73567226
0,5	102,5315	-76,70294729
0,6	90,23727	-83,53198224
0,7	78,03471	-87,49886999
0,8	66,40384	-89,02292795
0,9	55,65765	-88,57821792
1	45,96685	-86,62983425
?	0	0

Определение запаса устойчивости системы

Наибольшее распространение для определения запаса устойчивости получил способ, основанный на использовании критерия Найквиста.

Определяются две величины - запас устойчивости по амплитуде и запас устойчивости по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде определяется как величина ?К, на которую может возрасти модуль АЧХ разомкнутой системы, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

?К = 0 - (-1) = 1

Запас устойчивости по фазе равен величине ?, на которую должно измениться запаздывание по фазе, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Дуга радиусом R = 1 проведенная из центра координат из точки (-0;j0) пересекает годограф, значит ?

Система устойчива по критерию Найквиста.

Содержание