5.1. Преобразование Лапласа, передаточные функции и матрицы

Возможность линеаризации технических объектов и систем предоставляет в распоряжение исследователей аппарат преобразования Лапласа.

Прямое преобразование Лапласа (определение изображения) непрерывной функции времени f(t) имеет вид [2, 19]

, (5.1)

где p– оператор Лапласа (комплексная переменная).

Обратное преобразование Лапласа (определение оригинала) функции комплексной переменной F(p) имеет вид

. (5.2)

При решении большинства практических задач применяются таблицы преобразований Лапласа, полученные на основе выражения (5.1). В табл. 5.1 приведены некоторые наиболее важные соотношения непрерывной функции времени tи функции комплексной переменнойp.

Как видим, переменную pв преобразовании Лапласа можно рассматривать как оператор дифференцирования при описании САУ во временной области, т. е.

. (5.3)

Таблица 5.1

Механизм использования преобразования Лапласа для упрощения решения уравнений динамики САУ, т. е. определения реакции выходной координаты системы на некоторое входное воздействие, предполагает следующую последовательность действий:

1. составление дифференциальных уравнений системы;

2. прямое преобразование по Лапласу этих дифференциальных уравнений, используя уравнение (5.1) или таблицы преобразований;

3. решение полученных алгебраических (операторных) уравнений относительно выходной переменной;

4. получение оригинала выходной переменной как функции времени, используя обратное преобразование Лапласа (5.2) или таблицы преобразований (отдельно для каждого входного воздействия, если их несколько);

5) суммирование реакций при необходимости оценки влияния на систему одновременно нескольких входных воздействий (реализация принципа наложения или, иначе, принципа суперпозиции линейных систем).

Преобразования Лапласа лежат в основе получения одной из основных характеристик линейных стационарных (с постоянными параметрами) систем – передаточной функции, описывающей динамическую связь переменных отдельных звеньев системы и системы в целом в терминах “вход-выход”.

Передаточная функцияW(p) линейной САУ – отношение преобразования Лапласа выходной переменнойY(p) к преобразованию Лапласа входной переменнойX(p) при условии, что все начальные условия () системы приt= 0 равны нулю, т. е.

. (5.4)

Заметим, что передаточная функция системы несет информацию о взаимосвязи только ее выходной и входной переменных и не несет никакой информации о ее внутренних переменных.

Пусть дифференциальное уравнение системы имеет вид

, (5.5)

где X(t),Y(t) – соответственно входное воздействие и выходная реакция системы,a_i ,b_i – постоянные коэффициенты,i=1,…,n-1.

Тогда с учетом (5.3), (5.4) получим передаточную функцию системы

. (5.6)

Если полином, стоящий в знаменателе, приравнять нулю, то мы получим характеристическое уравнение, названное так потому, что его корни (полюса) определяют характер движения системы. Корни полинома, стоящего в числителе, называютнулями системы. В полюсах передаточная функция (6.6) обращается в бесконечность, в нулях – в нуль. Расположение полюсов и нулей на комплекснойp-плоскости определяет характер собственного (свободного) движения системы. Выбор рационального расположения полюсов и нулей замкнутой системы за счет применения корректирующих звеньев – один из широко применяемых подходов к синтезу САУ.

Проектировщик должен отчетливо представлять, как влияют нули и полюса передаточной функции САУ на реакцию системы на то или иное аддитивное воздействие. Полюсы замкнутой САУ определяют отдельные составляющие переходной характеристики, а ее нули определяют удельный вес каждой из этих составляющих. На рис. 5.1 приведено условное отображение на плоскости комплексного переменного временной реакции устойчивой, находящейся на границе устойчивости и неустойчивой САУ на импульсное воздействие (полюса отображены треугольниками).

Рис. 5.1. Реакция САУ на импульсное воздействие при различном

положении корней на комплексной плоскости

В системе MATLABимеются специальные команды, позволяющие определить расположение нулей и полюсов передаточной функции САУ на комплексной плоскости. Рассмотрим пример. Пусть передаточная функция САУ имеет вид

.

Запишем скрипт MATLAB, обеспечивающий вывод на печать значений нулей (zero), полюсов (pole) и картины их расположения на комплексной плоскости (pzmap):

num=[1 3 2]; % Формирование полинома числителя

den=[1 3 4 1]; % Формирование полинома знаменателя

sys=tf(num,den); % Формирование передаточной функции

z=zero(sys)

p=pole(sys)

pzmap(sys) % Размещение нулей и полюсов на комплексной плоскости

В результате расчета получаем:

z =

-2

-1

p =

-1.3412 + 1.1615i

-1.3412 - 1.1615i

-0.3177

Рис. 5.2. Расположение корней САУ на комплексной плоскости

Передаточные функции подавляющего большинства САУ характеризуются принадлежностью нулей к левой комплексной полуплоскости. Если все нули передаточной функции системы находятся в левой полуплоскости, то САУ называется минимально-фазовой. Между тем, при смене знака при оператореpв числителе передаточной функции фазовые характеристики САУ изменятся при одинаковых АЧХ. Передаточные функции таких САУ, содержащих нули в правой полуплоскости называютнеминимально-фазовыми.При синтезе таких систем могут иметь место проблемы обеспечения устойчивости и качества управления.

Технические системы управления могут иметь несколько входов (аддитивных задающих и возмущающих воздействий) и несколько выходов, причем входные воздействия могут оказывать влияние на несколько выходных (управляемых) переменных. Такие системы называют многосвязными многомерными. Для их описания и исследования применяют не передаточные функции, апередаточные матрицы.

Пусть число управляемых величин равно n, число задающих воздействийm, а число возмущающих воздействий –k. Совокупности выходных, задающих и возмущающих переменных можно записать в виде соответствующих векторов-столбцовX=col(x₁… x_n),Z=col(z₁… z_m),F=col(f₁… f_k). Уравнение такойn-связной системы можно записать в векторно-матричной операторной форме

A(p)X(p) = B(p)Z(p) + C(p)F(p), (5.7)

где A(p),B(p),C(p) – операторные передаточные матрицы,

;,

.

Разрешая уравнение (5.7) относительно вектора выходных переменных получим

. (5.8)

Первое слагаемое в (5.8) представляет собой реакцию системы на задающие воздействия, второе – на возмущающие воздействия. Для получения оригинала выходной переменной как функции времени необходимо использовать обратное преобразование Лапласа (5.2) или таблицы преобразований (отдельно для каждого входного воздействия) и просуммировать реакции при необходимости оценки влияния на систему одновременно нескольких входных воздействий.