8,9. Преобразование Фурье. Свойства

Прямым преобразованием Фурье называется оператор

, (3.19)

обратным преобразованием Фурье

. (3.20)

Преобразование Фурье ставит во взаимное соответствие два множества функций (f(t) ↔ F(iω)): первое множество f(t) – функции действительного аргумента t; второе множество F(iω) – функции мнимого аргумента iω. Прямое преобразование Фурье (3.19) позволяет по заданному оригиналу f(t) найти его изображение F(iω), обратное преобразование (3.20) позволяет по заданному изображению F(iω) найти оригинал F(t). Преобразование Фурье используют для построения спектров сигналов.

Основными свойствами преобразования Фурье являются:

1. Свойство линейности:

если , то , (3.21)

где f(t), f₁(t), ..., f_n(t) – функции; F(iω), F₁(iω), ..., F_n(iω) – изображения соответствующих функций.

2. Свойство запаздывания:

если f(t)  F(iω), то f(t−τ)  e^−iωτF(iω). (3.22)

3. Свойство смещения спектра:

если f(t)  F(iω), то . (3.23)

4. Свойство различного характера функции f(t):

если функция f(t) четная, то ее изображение является вещественной функцией, четной относительно ω и определяется как

. (3.24)

если функция f(t) нечетная, то ее изображение является чисто мнимой функцией, нечетной относительно ω:

. (3.25)

Существует значительное количество свойств преобразования Фурье, но именно приведенные выше (3.21) - (3.25) используются при исследовании регулярных сигналов.