1.3. Функциональные характеристики сложных систем [10].

Успешное решение задач анализа (определение свойств системы по ее структуре и значениям параметров) и синтеза (определение структуры и значений параметров системы по заданным свойствам) сложных систем не может быть обеспечено одними лишь средствами умозрительной оценки поведения систем в различных условиях функционирования. Общая теория систем выдвигает проблемы, требующие достаточно глубокой количественной оценки поведения и свойств сложных систем.

Количественные данные о поведении системы могут быть получены либо экспериментально, если нам доступны наблюдения и фиксация поведения соответствующих реальных объектов, либо расчетным путем, если имеется математическое описание системы. Кроме того, существует также проблема наглядной интерпретации количественных данных, позволяющей решать важнейшие теоретические и практические задачи. Для этой цели массивы информации, описывающие состояния системы в различные моменты времени и при различных условиях, должны быть сведены к небольшому числу обобщенных характеристик.

Следуя традиции, будем оценивать свойства сложных систем при помощи числовых характеристик, каждая из которых, используемая для оценки свойств сложной системы, должна удовлетворять следующим трем требованиям:

1. представлять собой величину, зависящую от процесса функционирования системы, которая по возможности просто вычисляется, исходя из математического описания системы;

2. давать наглядное представление об одном из свойств системы;

3. допускать в пределах возможного простую приближенную оценку по экспериментальным данным.

В качестве примера совокупности числовых характеристик, удовлетворяющих этим требованиям, можно привести рассматриваемые в теории вероятностей моменты случайной величины.

Аналогия, на которую мы хотим обратить внимание читателя, состоит в следующем. Исчерпывающим математическим описанием случайной величины является закон ее распределения. Если этот закон задан, могут быть вычислены начальные и центральные моменты и т. д. Каждый из них наглядно характеризует важнейшие свойства случайной величины и может быть оценен по экспериментальным данным. Таким образом, моменты случайной величины как ее числовые характеристики полностью удовлетворяют упомянутым выше требованиям. Более того, этот пример подтверждает мысль, что отсутствие исчерпывающего математического описания не является препятствием для приближенной оценки свойств объекта, если имеются экспериментальные данные.

Попытаемся выбрать такие числовые характеристики, зависящие от процесса функционирования сложной системы, которые описывали бы ее основные свойства.

1. Эффективность.

Любую сложную систему мы рассматриваем как объект, предназначенный для выполнения некоторого определенного вида работ или решения достаточно четко очерченного класса задач. При этом процесс функционирования сложной системы представляется как совокупность действий ее элементов, подчиненных единой цели. Необходимо обратить внимание на важность четкого определения задач и целей функционирования системы. Если они строго определены, можно говорить о качестве работы системы.

Качество работы системы мы будем оценивать при помощи показателей эффективности. Под показателем эффективности сложной системы понимается такая числовая характеристика системы, которая оценивает степень приспособленности системы к выполнению поставленных перед нею задач.

Как отмечалось выше, сложные системы функционируют в условиях действия большого числа случайных факторов. Поэтому и результаты работы сложной системы неизбежно носят случайный характер. Если результатом функционирования системы служит некоторое событие, то оно должно рассматриваться как случайное.

Для того, чтобы оценка эффективности системы относилась к некоторому среднему ее поведению в данных условиях и не зависела от случайного сочетания действующих на систему факторов, обычно в качестве показателя эффективности выбирают вероятности соответствующих случайных событий или средние значения соответствующих величин. Например, вероятность соединения абонентов, среднее число пассажиров и т. д.

Поскольку условия функционирования сложной системы носят не обязательно стационарный характер и могут изменяться с течением времени, необходимо указывать период времени или условия, к которым относится рассматриваемое значение показателя эффективности.

Заметим, что от того, какая числовая характеристика системы выбрана в качестве показателя эффективности, зависит интерпретация свойств системы и результатов ее исследования.

Легко видеть, что характер показателя эффективности определяет основные направления в поиске свойств системы, которые обеспечивают ее оптимальность с точки зрения выбранного показателя эффективности. Весьма наглядный пример этого положения дает городской пассажирский транспорт. Здесь удобно рассмотреть две группы показателей эффективности, определяющих цели системы, весьма далекие по характеру друг от друга:

1. показатели, связанные с экономичностью содержания городского транспорта (средняя прибыль, средние затраты и т. д.);

2. показатели, обеспечивающие наилучшее обслуживание населения (среднее время на поездку, средняя стоимость поездки и т. д.).

Для согласования разнородных тенденций в характере работы системы часто используются показатели эффективности, содержащими ограничительные условия (средние затраты на обеспечение работы городского транспорта при условии, что среднее время поездки не превышает заданной величины). Важно отметить, что такие показатели эффективности имеют свои особые недостатки, сужающие сферу их применения. Например, пусть эффективность городского пассажирского транспорта оценивается средним временем поездки при условии, что затраты на его содержание не превышают заданной величины. Такой показатель эффективности будет стимулировать оптимальное использование выделенных средств для всемерного уменьшения среднего времени поездки. Однако можно себе представить случай, когда умеренное превышение затрат позволяет значительно сократить затраты времени населения на поездки по городу и, тем самым, получить существенный эффект (например строительство метрополитена).

Любой показатель эффективности R зависит от ряда параметров. Среди них основную роль играют параметры системы _, _, …, _n и параметры, характеризующие воздействия внешней среды _, _, …, _m.

Таким образом,

R=R(_, _, …, _n; _, _, …, _m). (1.1)

Помимо параметров системы и внешней среды, явно фигурирующих в математическом описании, показатель эффективности зависит также от структуры системы, характера связей между элементами, вида управляющих алгоритмов и закономерностей функционирования, не поддающихся описанию при помощи параметров. Эти зависимости учитываются как видом функции R (или видом алгоритма, позволяющего вычислить значения R, если явное выражение для него отсутствует), так и введение дополнительных, так называемых, структурных параметров.

Зависимости вида (1.1) для показателей эффективности сложных систем с учетом широкого круга действующих факторов, как правило, получаются весьма громоздкими. Задача расчета показателя эффективности зачастую требует реализации достаточно сложного алгоритма и переработки большого количества информации. Поэтому вычисление показателей эффективности сложных систем обычно ведется на ЭВМ.

При исследовании сложных систем в связи с решением практических задач теории систем показатели эффективности находят широкое применение. Они используются для сравнительной оценки вариантов сложных систем при проектировании, для выбора оптимальных параметров системы и режимов функционирования, для сравнительной оценки улучшающих алгоритмов и т. д.

2. Надежность.

Для современных сложных систем важнейшее значение имеет надежность функционирования. К сожалению, показатели надежности, хорошо зарекомендовав себя при оценке "простых" систем, и традиционные методы их определения оказываются практически бесполезными, когда речь идет о современных сложных системах. Такие показатели надежности, как "среднее время безотказной работы системы" или "вероятность безотказной работы в течение заданного интервала времени" применительно ко многим системам лишены всякого смысла. Они сосредотачивают много внимания на самом факте отказа и в тоже время не позволяют получить представление о влияния отказа на конечный эффект функционирования системы. Очевидно, что многие сложные системы могут выполнять свои функции при условии, что некоторая часть их элементов находится в нерабочем состоянии. В этих случаях речь идет не об отказе системы, а лишь о возможном снижении качества ее работы. Таким образом, решающим в оценке надежности сложных систем является правильный учет последствий, к которым приводят отказы тех или других элементов, с точки зрения конечного результата функционирования системы.

Задача оценки надежности очень сложной системы может быть поставлена следующим образом.

Предполагается, что каждый элемент системы состоит из некоторого количества первичных элементов. Все характеристики первичных элементов и взаимодействия между ними, имеющие отношения к свойствам системы, учитываются параметрами _, _, …, _n, входящими в выражение для показателя эффективности (1.1). Поэтому любые изменения характеристик первичных элементов или взаимодействий между ними сказываются в той или иной степени на значениях параметров _, _, …, _n и, в конечном итоге, на величине показателя эффективности R.

Будем считать, что некоторые первичные элементы в процессе функционирования системы могут выбывать из строя (отказывать). Под отказом элемента понимается либо выход его характеристик за допустимые пределы, либо полное прекращение работы. И в том, и в другом случае, естественно, происходит изменение значения показателя эффективности R: в первом случае - из-за изменения характеристик первичных элементов, а во втором - из-за нарушения нормального взаимодействия между ними, а также, иногда, из-за изменения начальной структуры системы.

Надежность первичных элементов как "простых" систем можно описывать различными вероятностными характеристиками. Необходимо теперь установить такие показатели, которые характеризовали бы надежность сложной системы в целом.

Очевидно, что отказы элементов не могут улучшить эффективность системы. Степень снижения эффективности системы за счет отказов элементов достаточно хорошо описывает последствия, к которым приводят отказы. На этом пути может быть выбран удобный показатель надежности сложной системы.

Пусть величина R является показателем эффективности некоторой сложной системы. Предположим, что имеется возможность вычислять R по заданным параметрам системы и воздействий внешней среды в соответствии с соотношением (1.1).

В качестве показателя надежности сложной системы может быть принята разность

(1.2)

где - показатель эффективности R в предположении, что все элементы системы абсолютно надежны (в процессе функционирования отказы не происходят);- показатель эффективности R, считая, что отказы элементов могут происходить с интенсивностями, соответствующими вероятностным характеристикам.

Величина показывает, насколько снижается эффективность системы за счет возможных отказов ее элементов по сравнению с эффективностью идеальной системы, элементы которой предполагаются абсолютно надежными. Ясно, что показатель вида (1.2) может быть с успехом использован для сравнительной оценки различных вариантов сложной системы. Для этого вместоидостаточно рассмотреть значения показателя R, относящиеся к этим вариан­там.

Если величина мала, значит, отказы элементов слабо влияют на эффективность системы. В этом случае вряд ли имеет практический смысл тратить средства на повышение надежности элементов. В другом случае, когда величина не является малой, могут быть предложены различные подходы к проблеме повышения надежности элементов, резервирование малонадежных элементов, использование профилактических мероприятий и т. д.

При оценке надежности сложных систем, необходимо учитывать возможность восстановления отказавших элементов.

В заключение заметим, что помимо расчетных методов принципиально возможны и экспериментальные пути оценки надежности сложных систем. Практически экспериментальные методы широко используются для получения характеристик надежности элементов, особенно первичных элементов. Применение экспериментальных методов в широком масштабе для оценки надежности сложных систем в целом наталкивается на ряд существенных трудностей (большие затраты, длительное время испытаний и т. д.).

3. Качество управления.

Как мы уже говорили, управлению в сложных системах принадлежит исключительная роль. Поэтому оценка качества управления является одной из наиболее важных сторон общей оценки эффективности системы.

Необходимо отметить, что черты саморегулирования, самоуправления и даже самоорганизации в той или другой степени присущи не только подавляющей части наблюдаемых в жизни сложных систем, но и многим их элементам. Тем не менее, при практическом подходе в сложных системах выделяются специальные элементы (управляющие устройства), которые обеспечивают переработку информации для целей управления. Осуществленные ими функции условно можно назвать принудительным управлением, в отличие от упомянутых выше процессов самоуправления.

Качество управления в сложных системах зависит от многочисленных факторов. Наиболее существенные из них для удобства рассмотрения можно свести в следующие четыре группы:

1. факторы, связанные с качеством критериев управления;

2. факторы, определяющие частоту циклов управления;

3. факторы,характеризующие качество осведомительной информации;

4. факторы, связанные с качеством оператора (алгоритма) управления.

Остановимся кратко на каждой из них.

Воздействие управляющей информации на управляемые элементы системы можно описать при помощи изменения значений некоторых ее параметров _, _, …, _n. Параметры системы, посредством которых производится изменение режимов функционирования управляемых элементов под воздействием управляющей формации, называются параметрами управления. В дальнейшем параметры управления будем обозначать .

Если речь идет об экстремальном управлении, то значения параметроввыбираются такими, чтобы критерий управления Ф() имел экстремум Ф^* при .

Естественно предположить, что целью управления является повышение эффективности функционирования системы. Поэтому в идеале при должен иметь экстремум не только критерий управления Ф=Ф^*, но и показатель эффективности R=R^* (при фиксированных значениях других параметров системы). Очевидно, что это требование автоматически выполняется, когда в качестве критерия управления Ф выбирается показатель эффективности R.

Проблема оценки качества управления в общем ее виде еще недостаточно исследована. Поэтому в настоящее время нет возможности предложить универсальные методы решения. Однако уже имеется некоторый опыт, позволяющий рассматривать многие задачи, встречающиеся на практике. Остановимся кратко на этих вопросах.

В первую очередь рассмотрим задачу сравнительной оценки качества управления. Пусть считается заданной конкретная сложная система, эффективность которой характеризуется показателем R. Пусть возможны два варианта управления: A и B. В общем случае свойства комплекса управления существенно сказываются на эффективности системы. Поэтому при различных вариантах комплекса управления показатель эффективности R будет принимать различные значения. Пусть в случае варианта A его значение будет равно R_A, в случае варианта B - R_B. Тогда, для сравнительной оценки качества управления сложной системой удобно использовать показатель

R_упр=R_A-R_B. (1.3)

При помощи величины R_упр можно произвести обследование некоторого числа вариантов управляющего комплекса сложной системы и выбрать из них наилучший. Подобный подход нередко используется при проектировании сложных систем.

Помимо общей задачи показатель вида (1.3) можно применять для решения ряда частных вопросов. Сюда относятся проблемы сравнительной оценки элементов управляющего комплекса или некоторых его параметров. В этом случае преимущество получает тот вариант, при котором эффективность сложной системы оказывается более сложной.

4. Помехозащищенность.

Создание сложных систем так называемого "универсального" применения, которые были бы гарантированы от существенного нарушения режимов функционирования при "наихудших" или "наиболее тяжелых" условиях работы, практически невозможно. Подобные системы оказались бы чрезвычайно громоздкими, дорогостоящими и, в то же время, малоэффективными. Поэтому на практике сложные системы, за редким исключением, создаются для эффективной работы в некоторых типичных условиях, наиболее характерных для систем данного класса. Эти условия называют нормальными условиями, а процесс функционирования системы при нормальных условиях - невозмущенным процессом.

Естественно, что нормальные условия функционирования сложной системы и являются своеобразной идеализацией действительности. В самом деле, реальные условия всегда несколько отличаются от нормальных. Отклонения реальных условий работы системы от нормальных порождают отклонения процесса ее функционирования от невозмущенного. Эти последние отклонения называются возмущениями, а соответствующий процесс функционирования системы - возмущенным.

Часто рассматривают отклонения реальных условий работы сложной системы от нормальных как помехи, снижающие качество ее функционирования. Внутренние помехи проявляются в виде таких изменений свойств элементов системы, взаимодействия между ними структурных характеристик, которые приводят к изменению значений параметров _, _, …, _n сложной системы. Измененные значения параметров можно представить в виде

где - значения параметров системы при нормальных условиях функционирования;

- изменения параметров, вызванные действием помех.

Внешние помехи проявляются в отклонениях от нормы воздействий на сложную систему со стороны внешней среды. Они приводят к изменению значений параметров _, _, …, _m, входящих в соотношение (1.1). Возмущенные значения параметров_j также можно представить в виде

где - значения параметров, характеризующих воздействия внешней среды при нормальных условиях;

- изменения параметров, вызванные действиями помех.

В некоторых случаях невозмущенный процесс функционирования можно считать вполне детерминированным процессом, а все случайные отклонения - свести к возмущениям. При этом нормальные условия функционирования будут соответствовать состояниям, при которых влияние случайных факторов равно нулю.

Однако для многих важных в практическом отношении сложных систем выбор нормальных условий, при которых влияние случайных факторов сводится к нулю, оказывается нецелесообразным. В самом деле, например, в системах массового обслуживания случайные факторы не являются малыми отклонениями, а отражают собой саму сущность функционирования. Часто более удобно нормальным считать такие условия, при которых случайные факторы имеют заданные вероятностные характеристики. Тогда невозмущенный процесс функционирования сложной системы будет случайным. Наличие помех выражается дополнительными случайными факторами, выходящими за рамки ограничений, принятых для нормальных условий. Возмущенный процесс функционирования сложной системы в этом случае будет складываться из двух случайных процессов: невозмущенного процесса и возмущений, вызванных действием помех.

Оценку помехозащищенности системы можно произвести при помощи показателей, аналогичных показателям надежности или качества управления.

Пусть величина R, определенная соотношением (1.1), представляет собой показатель эффективности некоторой сложной системы. Определим значение показателя эффективности R для нормальных условий функционирования системы

.

Вычислим, кроме того, значение показателя эффективности R при условии действия на систему внешних и внутренних помех с заданными характеристиками:

.

Тогда величина разности

(1.4)

может быть принята в качестве показателя помехозащищенности сложной системы. Величина показывает, насколько снижается эффективность системы при условии действия помех с заданными характеристиками.

Помимо рассмотренной здесь абсолютной оценки помехозащищенности системы, принятый подход позволяет дать сравнительную оценку действию помех с различными характеристиками. Для этого достаточно в соотношение (1.4) вместо иподставить значения показателя эффективности R, относящиеся к сравниваемым случаям.

На практике для наглядного отображения значимости той или другой помехи часто пользуются также относительной оценкой помехозащищенности, рассматривая отношения величины к величине какой-нибудь характеристики самой помехи. Существуют также различные частные показатели, оценивающие влияние помех с заданными характеристиками на работу сложной системы и ее элементов.

Возникает вопрос: нельзя ли ограничиться единственным показателем эффективности R? Оказывается это не так!

Сказанное выше можно представить в виде следующей элементарной схемы. Пусть имеется n факторов x_i (помехозащищенности, надежности и т. д.). Каждый из этих факторов может принимать некоторое идеализированное значение (например, в случае надежности это означает, что элементы системы абсолютно надежны). Пусть x_i - реальные значения факторов. Тогда естественно считать, что возможно приближенное представление

R(x₁, x₂, …, x_n)  R(,, …,) +_iR, (1.5)

где _iR=R(,, …,,,, …,) - R(,,…,), по крайней мере, если значения x_i близки к идеальным. Расчет значения R(,,…,) обычно можно произвести на основании сравнительно простой математической модели, а поправка_iR - на основании специализированных моделей. В современных сложных системах влияние различных факторов не учитывается одновременно. Напротив, создаются отдельные модели учета надежности, помехозащищенности и т. п., каждая - специалистами соответствующих областей; в результате на основании приближенной формулы (1.5) оказывается возможным рассчитать значения основного показателя с учетом всех главных факторов. Разумеется, следует учитывать и эффекты взаимодействия (например, влияние помех на показатель надежности), однако после произведенного расчета _iR пути решения этой задачи выглядят уже более прозрачно.

5. Устойчивость.

Качество функционирования сложной системы, как было отмечено выше, можно оценивать при помощи набора числовых характеристик, таких, как показатели эффективности, надежности, помехозащищенности и т. д., вычисленные для заданных условий функционирования системы. С этой точки зрения система только тогда обладает требуемыми свойствами, когда выбранные характеристики находятся в заданных пределах или принадлежат некоторым областям.

Однако установление того факта, что характеристики системы принадлежат заданным областям, имеет весьма ограниченное значение. Поскольку в действительности условия функционирования системы в той или другой мере отличаются от нормальных, существенно знать, сохраняются ли при наличии возмущений требуемые свойства системы. Здесь возникает понятие устойчивости функционирования сложных систем. Под устойчивостью функционирования сложной системы мы будем понимать способность системы сохранять требуемые свойства в условиях действия возмущений. Чтобы сделать это понятие более точным, необходимо определить класс допустимых возмущений, описать рассматриваемые свойства системы, а также установить, какой смысл придается словам "сохранение требуемых свойств".

Существующие определения устойчивости исходят из этих понятий и относятся к некоторому классу систем (главным образом, к динамическим системам, описываемым обыкновенными дифференциальными уравнениями). Например, в определении устойчивости по Ляпунову возмущения ограничены любой, быть может, сколь угодно малой величиной; в определении практической устойчивости возмущения ограничиваются заранее фиксированной величиной; при рассмотрении стохастической устойчивости возмущения являются случайными величинами с заранее оговоренными вероятностными характеристиками.

Строго говоря, понятие устойчивости относится не к системе как таковой, а к какому-нибудь свойству ее функционирования. Это свойство и является определяющим фактором при выборе способа измерения различия между возмущенными и невозмущенными процессами функционирования системы.

Целесообразно подчеркнуть, что для практики важно не только иметь возможность провести анализ устойчивости системы (проверить, устойчива ли система в принятом смысле при заданных значениях ее параметров), но и указать ограничения, налагаемые на параметры системы, при которых она оказывается устойчивой. Эти ограничения определяют область устойчивости во множестве ее параметров, значения которых остаются неизменными при переходе от невозмущенного процесса функционирования к возмущенному. Построение области устойчивости уже можно отнести к синтезу системы. В дальнейшем задачи синтеза решаются с учетом ограничений, налагаемых на допустимые значения параметров областью устойчивости.

Рассмотрим пример наглядной интерпретации понятия устойчивости. Для системы, устойчивой относительно некоторого свойства, можно указать такие ограничения из заданного класса ограничений, налагаемые на возмущения, при которых интересующее нас свойство будет сохраняться в некотором, вообще говоря, вероятностном смысле. В случае неустойчивой системы этого сделать нельзя. Более того, может оказаться, что для выбранного свойства нельзя подобрать никаких ограничений на возмущения, обеспечивающих сохранение этого свойства. То есть даже очень малые возмущения могут привести к существенным срывам, значительно снижающим качество функционирования системы, вплоть до полной невозможности ее практического использования.

Заметим, что система, которая является устойчивой в смысле выбранного свойства по отношению к возмущениям заданного уровня, в общем случае может оказаться неустойчивой, если для рассмотрения будет взято некоторое другое ее свойство, или допустимый уровень возмущений увеличивается.

С теоретической и практической точек зрения большой интерес представляет изучение устойчивости (относительно возмущений различной природы) таких свойств систем, как принадлежность показателя эффективности системы заданным пределам.

6. Сложность.

При проектировании сложных систем часто осуществляется выбор одного из некоторого числа возможных вариантов системы. Естественно, что для такого выбора в первую очередь служит значение показателя R эффективности с учетом всех остальных, важных для данного класса систем, свойств. Однако если существуют варианты системы (два или более), эквивалентные с точки зрения их эффективности, преимущество обычно получает менее сложный из них.

Интуитивное представление о сложности системы связывает это ее свойство с объемом оборудования (число элементов, их вес, габариты и т. д.), разветвленностью связей между элементами и степенью их взаимодействия, квалификацией персонала, осуществляющего изготовление элементов, монтаж, наладку и эксплуатацию системы, стоимостью изготовления системы и удобством ее практического применения и т. д.

Однако в современных условиях развития техники одной интуиции оказалось недостаточно. Возникла насущная необходимость в формальном понятии сложность системы. Это важно с точки зрения исключения элементов субъективизма и получения по возможности более объективных оценок. Кроме того, без этого невозможен формальный, в том числе машинный синтез сложных систем, интенсивно развивающихся в последние годы.

Легко видеть, что интуитивное понятие сложности системы учитывает как сложность ее структуры, так и сложность функции, реализуемой системой. Построение формального понятия сложности системы, охватывающего эти аспекты, в совокупности, оказалось весьма трудной научной проблемой, которая в настоящее время находится лишь в начальной стадии решения.

Наиболее элементарное и, весьма узкое, формальное понятие сложности системы можно построить следующим образом. Пусть в нашем распоряжении имеется n элементов. Для каждого типа интуитивно, с учетом накопленного опыта, устанавливаются величина сложности элемента, измеряемая некоторым образом. Обозначим сложность i-го элемента через s_i. Будем рассматривать системы, состоящие только из элементов упомянутых n типов. Сложностью S системы, состоящей из элементов со сложностью s_i, i=1,2,3,…,n, будем называть величину

(1.6)

где k_i - число элементов i-го типа, входящих в систему.

Несмотря на примитивность такого подхода с общей точки зрения (величина S никак не учитывает сложности функции системы и весьма узко, без учета взаимосвязей между элементами, характеризует ее структуру), он оправдывает себя в очень многих практических случаях.

Для того, чтобы также учесть структуру системы, целесообразно выражение (1.6) сделать зависящим от числа связей между элементами. В частности, для некоторых классов сложных систем можно поступить следующим образом. Легко видеть, что число элементов N системы равно . Как известно, максимальное число связей между элементами будет равно N(N-1). Пусть практическое число связей, реализуемых в системе, обозначается M^*. Величина

характеризует относительное число реализованных связей. Тогда сложность системы можно оценивать величиной

где ν - коэффициент, учитывающий сложность связей по сравнению со сложностью элементов системы.