1.4. Уравнения и передаточные функции элементов и систем автоматического управления. Типовые возмущающие функции.

В технической практике успешно применяют метод представления сложной системы в виде совокупности взаимосвязанных элементов. В простейшем варианте элементы имеют одну входную величину и одну выходную величину. Зависимость выходной величины от входной представляют в виде какой-либо простой математической операции, например, умножения на постоянную величину, интегрирования, дифференцирования или иного математического преобразования. Такой подход позволяет существенно упростить анализ сложной системы. Математическим аппаратом этого подхода является теория передаточных функций.

Передаточной функцией называют отношение выходной величины преобразованной по Лапласу ко входной величине преобразованной по Лапласу при нулевых начальных условиях, т.е. движение системы рассматривается при отклонении выходной и входной величин от стационарного состояния. Основные положения теории передаточных функций таковы:

- передача воздействия через элемент возможна только от входа к выходу;

- если необходимо передать информацию с выхода элемента на его вход используют обратную связь;

- при наличии нескольких воздействий на вход элемента применяют принцип суперпозиции, когда реакция элемента на несколько воздействий является суммой его реакций на каждое из этих воздействий, т.е. рассматривается линейное приближение происходящих движений.

Для составления передаточных функций используют интегральное преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа от функции при (для < 0 ) имеет вид ; (оператор преобразования Лапласа).

Обратное преобразование Лапласа определяется по формуле

Функция называется оригиналом, а - изображением. Переход от оригинала к изображению обозначают следующим образом

Идея практического применения данного математического аппарата состоит в преобразовании дифференциального или интегрального уравнения путём применения интегрального преобразования Лапласа в алгебраическое уравнение; решении этого алгебраического уравнения и обратного преобразования Лапласа. Другими словами, формализованное математическое описание системы переносится из временной области в комплексную область, где решение существенно проще, а затем это решение переносится вновь во временную область.

Передаточная функция определяется как отношение

Если дифференциальное уравнение системы можно представить в виде

,

то её передаточная функция будет иметь вид

Знаменатель передаточной функции, приравненный нулю, называют характеристическим уравнением системы.

В теории автоматического управления для изучения динамических свойств объекта регулирования применяют специальные стандартные функции :

1) единичная (ступенчатая) функция (рис.11 а)

2) импульсная функция (δ–функция Дирака) (рис.11 б)

Импульсная функция представляет собой «идеальный импульс», ширина основания которого стремится к нулю, а высота – к бесконечности.

3) гармоническая синусоидальная (косинусоидальная) функция

Реакция системы во времени на единичную функцию называется переходной функцией объекта регулирования. В случае если ступенчатая функция является не единичной, то переходная функция называется кривой разгона объекта регулирования.

Для входного воздействия в виде импульсной функции реакция объекта регулирования во времени называется импульсной переходной функцией.

При гармоническом входном воздействии динамические характеристики объекта регулирования называются частотными характеристиками. Если в передаточную функцию системы вместо оператора преобразования Лапласа подставить значение его комплексной части , то полученное выражения называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой системы, которая представляет собой комплексную функцию:

Для оценки динамических свойств применяют также амплитудно-частотную характеристику R(ω) и фазо-частотную характеристику φ(ω).

t

Рис. 11. Типовые возмущающие функции: а – ступенчатая, б – импульсная.

Типовые воздействия позволяют исследовать неустановившиеся, установившиеся и статические режимы работы САУ и их элементов. Неустановившийся (переходный) режим является реакцией системы на вновь появившееся воздействие. Характер переходного процесса зависит от типа воздействия и собственных свойств системы. Устано­вившийся (вынужденный) режим - это режим, в котором выходная величина элемента или системы изменяется по закону, определяемо­му входным воздействием. Установившийся или статический режим имеет место после окончания переходного процесса.

Как уже отмечалось, элементы систем автоматического регулирования являются преобразователями сигналов однонаправленного действия. Это позволяет различать сигналы входные и выходные, связь между которыми определяет статические и динамические свойства системы. Функционально она обычно выражается алгебраическим или дифференциальным уравнением. Если эта связь определена при установившихся режимах процессов в системах, то эта зависимость называется статической, а ее графическое изображение статической характеристикой. Признаком статического режима работы является сохранение постоянного во времени значения выходного сигнала: y(t) = const. У многих промышленных объектов в статическом режиме каждому значению выходного сигнала на входе соответствует определенное значение выходного сигнала: y = f (x). Такие объекты называют статическими, а приведенную зависимость – их статической характеристикой.

Значение dy/dx (тангенс угла наклона касательной) в какой-либо точке статической характеристики называется коэффициентом усиления в этой точке. В зависимости от вида статической характеристики системы подразделяют на линейные и нелинейные. Линейные системы описываются уравнением вида y=ax + b, где a и b – постоянные величины. (рисунок 12).

Нелинейным системам соответствуют нелинейные зависимости, например вида y=ax² + b, x>0. Особый случай представляют системы, характеристики которых параллельны ординате – астатические системы.

Рис. 12. Статические характеристики: а – линейная; б – нелинейная.

Для характеристики систем автоматического регулирования важно знать не только связь между выходными и входными сигналами в установившемся режиме, но и их зависимость в неустановившемся режиме, называемом динамическим. Такой режим описывается дифференциальными, интегральными или интегрально-дифференциальными уравнениями.

Любая САР состоит из 2-х основных элементов: объекта регулирования (ОР) и регулятора. Основными свойствами объектов регулирования являются емкость объекта, самовыравнивание, время разгона объекта и запаздывания.

Емкость объекта – способность объекта аккумулировать вещество или энергию.

Самовыравнивание – свойство ОР после внесения возмущения (например, нарушение равновесия между притоком и расходом вещества) самостоятельно, без участия человека или регулятора, переходить в новое равновесное состояние. Самовыравнивание облегчает функционирование регулятора. Объекты регулирования, обладающие свойством самовыравнивания, называются статическими, а не обладающие этим свойством – астатическими.

В установившемся режиме, при определенной подаче топлива, давление пара в барабане котла Ро. При увеличении топлива оно увеличилось и стало равным Р₁, т.е. снова достигнут установившийся режим, но на другом уровне. Это новое положение равновесия может быть достигнуто без регулятора (рисунок 13).

Рис. 13. Кривая разгона статического объекта – давления пара в барабане котла

Примером объекта без самовыравнивания может служить уровень воды в барабане котла (рисунок 14). При резком увеличении подачи питательной воды в барабан котла ее вровень (Н) в барабане возрастает. Расход пара из котла останется прежним, а приток воды продолжается, поэтому уровень Н растет.

Рис. 14. Кривая разгона астатического объекта - уровня воды в барабане котла

Для астатического объекта устойчивое функционирование системы без регулятора невозможно.

Линеаризация характеристик. Нелинейные характеристики САУ и их элементов во многих случаях можно линеаризовать, т. е. прибли­женно заменить более простыми линейными характеристиками. Возможность такой замены обусловлена относительно небольшими отклонениями в оглаженном производстве режимных параметров от их регламентированных значений.

Геометрически линеаризация нелинейной зависимости у = f(x) означает ее замену отрезком касательной в точке, соответствующей заданному режиму. Линеаризованную характеристику удобно рассматривать в отклонениях Δу и Δх переменных у и х от их заданных значений у₀ и х₀.

у-у₀ = (ду/дх)_х-хо(х-х₀) или Δу=К Δх.

Коэффициент передачи К характеризует передаточные свойства элемента (системы) в статике. Размерность К равна отношению размерности выходной величины к размерности входной величины.

Динамические характеристики линейных элементов и систем, определяющие зависимость выходной переменной от входной в неустановившемся режиме, представляют дифференциальными уравнениями, передаточными функциями, частотными и временными характеристиками. Динамические характеристики содержат информацию об инерционных свойствах объекта. Эта информация необходима для синтеза САУ и настройки регулятора. Для перехода от дифференциального уравнения к статической характеристике достаточно приравнять все производные по времени нулю.

1.5. Элементарные типовые динамические звенья. Передаточные функции соединений звеньев.

Разработку системы управления начинают с построения математической модели объекта управления. ММ является основой для выбора структуры, алгоритма управления и параметров настройки системы управления. ММ любой части системы обозначают звеном. Графическое изображение ММ в виде звеньев, соединенных между собой связями (линиями со стрелками) в ТАУ называется структурной схемой. Звено изображают в виде прямоугольника, в контур которого вписывают оператор, отражающий динамику преобразования входного сигнала в выходной, в форме передаточной функции W(p). Обозначения входных, промежуточных и выходных переменных и управляющих воздействий записывают над линией или с правой стороны линии, показывающей место приложения соответствующего сигнала. Промежуточные переменные – это координаты, связывающие отдельные звенья структурной схемы. Суммирующие элементы (сумматоры) изображают в форме круга, разделенного на секторы.

Математическое описание элементов системы автоматического управления (САУ) различного принципа действия, конструктивного исполнения и функционального назначения можно осуществить с помощью ограниченного числа элементарных звеньев. Элементарные звенья – это простые множители, входящие в состав передаточной функции или ее части.

Часть системы регулирования, которая описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка, называется типовым звеном. К типовым звеньям относят устойчивые элементарные звенья.

Особенностью взаимодействия между входными и выходными величинами является направленность в передаче воздействий: входные величины влияют на выходные, однако обратное воздействие через звено отсутствует. Рассмотрим динамические характеристики простейших линейных типовых звеньев. Такие звенья просто реализовать технически и поэтому именно с их помощью чаще всего производится корректировка свойств системы регулирования. Кроме того, любая часть системы может быть представлена в виде комбинации таких простейших звеньев.

1. Пропорциональное или усилительное звено имеет уравнение .

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом передачи звена. Передаточная функция, амплитудно – фазовая частотная характеристика и переходная характеристика имеют вид:

Ниже приведены некоторые примеры усилительных звеньев из электротехники и механики.

а) усилительный каскад; б) рычажное соединение; в) механический редуктор; г) индукционный датчик.

Рис. 15 - Примеры усилительного звена

а) переходная характеристика; б) амплитудно-фазовая частотная характеристика.

Рис. 16. Характеристики усилительного звена

2. Интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением

т.е. его выходная величина пропорциональна интегралу от входной величины. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом передачи интегрирующего звена. Численно этот коэффициент равен скорости изменения выходной величины звена при изменении входной величины на единицу размерности.

Ниже приведены примеры интегрирующего звена из гидравлики, механики и электротехники.

а) уровень в резервуаре; в) гидравлический двигатель; б) механический интегратор.

Рис. 17. Примеры интегрирующего звена

Примерами интегрирующего звена являются уровень в резервуаре, когда на стоке установлен насос, гидравлический двигатель с переменной скоростью изменения выходной величины, электрический двигатель с постоянной скоростью перемещения.

а) переходная характеристика; б) амплитудно-фазовая частотная характеристика.

Рис. 18. Характеристики интегрирующего звена

3. Инерционное звено первого порядка (апериодическое) реализует дифференциальное уравнение

Это однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, где обозначено Т – постоянная времени звена, с; k – коэффициент передачи.

Примерами инерционного звена первого порядка являются гидравлический демпфер с пружиной, если пренебречь массой поршня демпфера; уровень жидкости в баке как функция расхода жидкости на притоке и стоке, ёмкость с газом или электрический четырёхполюсник.

а) уровень в резервуаре; б) ёмкость с газом, соединённая с трубопроводом через вентиль; в) и г) четырёхполюсники из R,L,C – элементов.

Рис. 19. Примеры инерционного звена 1-го порядка

а) переходная характеристика; б) амплитудно-фазовая частотная характеристика.

Рис. 20. Характеристики инерционного звена 1-го порядка

Дифференцирующее звено (идеальное) реализует дифференциальное уравнение вида

коэффициент передачи дифференцирующего звена.

Примером этого звена является электрическая ёмкость, если входной величиной выбрать приложенное к ней напряжение U, а выходной – протекающий ток смещения:

В реальных схемах включения конденсаторов всегда есть сопротивление. В случае, когда выходной величиной звена является не ток, а падение напряжения на резисторе , уравнение звена принимает вид

Рассмотренная схема является примером реального дифференцирующего звена, уравнение которого в общем случае записывают так

а) б)

а) амплитудно-фазовая частотная характеристика; б) переходная

характеристика

Рис. 21. Характеристики реального дифференцирующего звена

4. Инерционное звено второго порядка реализует линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Корни характеристического уравнения определяются выражением

Таким образом, характер изменения переходной характеристики зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение системы (вещественные или комплексно-сопряжённые корни):

а) корни вещественные отрицательные

б) два равных вещественных отрицательных корня

в) корни сопряжено-комплексные с отрицательной вещественной частью

Для случая в) инерционное звено второго порядка получило специальное название колебательное звено. Его динамические характеристики приведены ниже.

Оценку изменчивости формы переходной характеристики колебательного звена производят по её степени затухания, которая равна отношению разности двух соседних амплитуд колебания, направленных в одну сторону, к первой из них:

1 – ; 2 – ; 3 – .

Рис. 22. Переходные характеристики инерционного звена 2 - порядка

Амплитудно-фазовая характеристика инерционного звена второго порядка определяется выражением

Рис.23. Амплитудно-фазовая частотная характеристика инерционного звена 2-го порядка

5. Запаздывающее звено в отличие от предыдущих звеньев описывается уравнением с запаздывающим аргументом

Выходная величина запаздывающего звена в точности копирует его входную величину, но с некоторым запаздыванием по времени τ.

Примером запаздывающего звена является ленточный дозатор сыпучих материалов, в котором после изменения входной величины должно пройти время (l – длина транспортёра; v – скорость перемещения ленты), прежде чем начнётся изменение выходной величины.

Передаточная функция и амплитудно-фазовая характеристика звена запаздывания имеют вид:

а) схема ленточного дозатора; б) переходная характеристика;

в) амплитудно-фазовая частотная характеристика

Рис. 24. Пример и характеристики звена «чистого» запаздывания

Следует отметить, что при выборе уравнений звеньев невозможно учесть все факторы, определяющие поведение реальной системы, и поэтому приходиться учитывать только наиболее существенные.

В качестве примера изображения системы автоматического регулирования в виде комбинации типовых элементарных динамических звеньев рассмотрим систему регулирования температуры в термокамере (рисунок 25).

Рис.25. Структурная схема системы регулирования температуры в термокамере.

Объект регулирования – термокамера – представлена апериодическим звеном второго порядка с передаточной функцией К/(Т²р² + 2ζТр + 1); датчик температуры – апериодическим звеном первого порядка К_д/(Т_др + 1); сигнал рассогласования ε образуется на элементе сравнения; функция закона регулирования формируется на усилительном звене Кр; исполнит ельный механизм представлен апериодическим звеном К_им/ (Т_имр + 1), рабочий орган – усилительным – К_ро.