Математическая модель одноканальной смо с отказами
Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания с ожиданием, в которую поступает поток пакетов с интенсивностью ; интенсивность обработки , т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обработанных пакетов в единицу (времени). Пакет, поступивший в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обработки.
Предположим сначала, что количество мест в очереди ограничено числом m, т. е. если пакет пришел в момент, когда в очереди уже стоит m пакетов, он покидает систему не обработанным. В дальнейшем, устремив m к бесконечности, мы получим характеристики одноканальной СМО без ограничений длины очереди.
Будем нумеровать состояния СМО по числу пакетов, находящихся в системе (как обрабатываемых, так и ожидающих обработки):
— канал свободен;
— канал занят, очереди нет;
— канал занят, один пакет стоит в очереди;
— канал занят, k - 1 пакетов стоит в очереди;
— канал занят, t пакетов стоит в очереди.
Схема одноканальной СМО с ожиданием показана на рис. 1. Все интенсивности потоков событий, переводящих в систему по стрелкам слева направо, равны , а справа налево —. Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит поток пакетов (как только придет пакет, система переходит в следующее состояние), справа же налево — поток «освобождений» занятого канала, имеющий интенсивность (как только будет обработан очередной пакет, канал либо освободится, либо уменьшится число пакетов в очереди).
Рисунок. 1 Одноканальная СМО с ожиданием.
Изображенная на рис. 1 схема, представляет собой схему размножения и гибели. Напишем выражения для предельных вероятностей состояний:
(1) |
или с использованием :
(2) |
Последняя строка в (2) содержит геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем ; откуда получаем:
(3) |
в связи с чем, предельные вероятности принимают вид:
(4) |
Выражение (3) справедливо только при < 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m + 2, и в этом случае
Определим характеристики СМО: вероятность отказа , относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А, среднюю длину очереди , среднее число заявок, связанных с системой , среднее время ожидания в очереди , среднее время пребывания заявки в СМО .
Вероятность отказа. Очевидно, пакет получает отказ только в случае, когда канал занят и все т мест в очереди тоже:
(5) |
Относительная пропускная способность:
(6) |
Абсолютная пропускная способность:
Средняя длина очереди. Найдем среднее число пакетов, находящихся в очереди, как математическое ожидание дискретной случайной величины R — числа пакетов, находящихся в очереди:
С вероятностью в очереди стоит один пакет, с вероятностью — два пакета, с вероятностью в очереди стоит k - 1 пакетов, и т. д., откуда:
(7) |
Поскольку , сумму в (7) можно трактовать как производную по от суммы геометрической прогрессии:
Подставляя данное выражение в (7) и используя из (4), окончательно получаем:
(8) |
Среднее число пакетов, находящихся в системе. Получим далее формулу для среднего числа пакетов, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся на обработке). Поскольку , где — среднее число пакетов, находящихся под обслуживанием, а k известно, то остается определить . Поскольку канал один, число обслуживаемых пакетов может равняться 0 (с вероятностью ) или 1 (с вероятностью 1 -), откуда:
и среднее число пакетов, связанных с СМО, равно
(9) |
Среднее время ожидания пакета в очереди. Обозначим его ; если пакет приходит в систему в какой-то момент времени, то с вероятностью канал не будет занят, и ему не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью он придет в систему во время обслуживания какого-то пакета, но перед ним не будет очереди, и пакет будет ждать начала своей обработки в течение времени (среднее время обработки одного пакета). С вероятностью в очереди перед обрабатываемым пакетом будет стоять еще один, и время ожидания в среднем будет равно , и т. д.
Если же k = m + 1, т. е. когда вновь приходящий пакет застает канал обслуживания занятым и m пакетов в очереди (вероятность этого ), то в этом случае пакет не становится в очередь (и не обрабатывается), поэтому время ожидания равно нулю. Среднее время ожидания будет равно:
Если подставить сюда выражения для вероятностей (4.4), получим:
(10) |
Здесь использованы соотношения (7), (8) (производная геометрической прогрессии), а также из (4). Сравнивая это выражение с (8), замечаем, что иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу пакетов в очереди, деленному на интенсивность потока поступления пакетов.
(11) |
Среднее время пребывания пакета в системе. Обозначим математическое ожидание случайной величины — время пребывания пакета в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания . Если загрузка системы составляет 100 %, очевидно, , в противном же случае . Отсюда:
- Оглавление
- Понятие системы интегрального обслуживания
- Математическая модель одноканальной смо с отказами
- Системы связи
- Технология atm
- Концептуальные основы атм
- Atm как технология лвс
- Atm как современная инфраструктура
- Концептуальные основы технологии atm
- Принципы синхронизации в атм
- Структура стека протоколов атм
- Физический уровень
- Уровень атм
- Уровень адаптации атм
- Форматы атм
- Номера виртуальных каналов и виртуальных путей
- Типы передаваемых данных
- Приоритеты селлов в системе
- Технология gsm tdma Частотный структура стандарта gsm
- 1.2. Структурная схема и состав оборудования сетей связи
- 1.4. Структура служб и передача данных в стандарте gsm
- 1.6. Структура тdма кадров и формирование сигналов в стандарте gsm
- Технология gprs
- Технология cdma
- 1. Основные принципы cdma
- 2. Отличия cdma от других стандартов
- 3. Услуги в сетях cdma
- 4. Общая характеристика и принципы функционирования
- 5. Технология мультидоступа
- 6. Развитие и перспективы стандарта cdma
- Сравнительный анализ технологий сотовой связи
- 4. Пути развития сетей 3-го поколения.
- 6. Сравнение технологий 2-го поколения (2g)
- 7. Эволюционные пути развития.
- Технология WiMax
- Принцип работы WiMax
- История развития проекта WiMax
- Перспективы WiMax в России
- Заключение
- Системы определения местоположения Технологии определения местоположения
- Методы определения местоположения
- Спутниковые системы навигации
- Принцип работы спутниковых систем навигации
- Технические параметры систем gps и глонасс
- Основные различия спутниковых систем навигации
- Наземный сегмент системы gps