Частотная передаточная функция системы автоматического управления

Частотные характеристики системы автоматического управления определяются при подаче на вход системы гармонического воздействия

,

где (формула Эйлера).

При подаче такого сигнала на вход и после затухания переходных процессов на выходе установятся также гармонические колебания с той же частотой , но с другой амплитудой и фазой (рис. 37). Тогда для выходного сигнала можно записать

y(t) = y_m=y_m,

где угол фазового сдвига выходного сигнала относительно входного;период сигнала;круговая частота сигнала.

Пусть исследуемая линейная система описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением

При гармоническом входном сигнале можно в этом уравнении определить все производные входной величины

,

,

....................................................................................

.

Аналогично определятся и производные выходной величины. В результате исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде алгебраического уравнения

Решив это уравнение, получим

Величина W(j)называетсякомплексной частотной функцией (или частотной передаточной функцией). Комплексная частотная функция может быть найдена по передаточной функции путем подстановкиp = j:

Частотная передаточная функция может быть записана в комплексном виде

где А()– модуль частотной передаточной функции; ()– фазовый угол (аргумент);U() = ReW(j)– вещественная составляющая передаточной функции;V() = JmW(j)– мнимая составляющая частотной передаточной функции.

Для частотной передаточной функции справедливы следующие соотношения:

,.

Зависимости А()и()определяют изменение амплитуды и фазы колебаний на выходе системы при изменении частотывходных колебаний. Модуль частотной характеристикиA()определяет коэффициент усиления системы для гармонического сигнала с частотой.