Пассивный rc фильтр низких частот первого порядка

Проведем анализ этой простейшей частотозависимой линейной схемы, представленной на рис. 1. Эту схему называют интегрирующей RC цепочкой, что следует из уравнения Кирхгофа для оригинала схемы (во временнòй области):

, (1.1)

откуда после интегрирования (1.2)

Определим характеристики схемы в частотной области, пользуясь методом преобразования Лапласа.

Рис. 1: (а) пассивный RC фильтр низких частот первого порядка: (b) зависимость коэффициента передачи от частоты; (с) зависимость сдвига фазы между входным и выходным сигналами от частоты.

Напомним известную из курса теоретической электротехники передаточную функцию пассивного RC фильтра в стационарном состоянии. Для ее получения используем законы Кирхгофа, справедливые как для оригиналов, так и для изображений токов:

Очевидно, что , т.е. (1.3)

Передаточная функция:

(1.4)

Здесь – действительный полюс передаточной функции.

Для стационарного состояния , поэтому

(1.5)

Модуль комплексного выражения (1.7) определяет зависимость от частоты коэффициента передачи напряжения с входа на выход рассматриваемого фильтра:

(1.6)

Сдвиг фазы между напряжениями и определяется выражением:

(1.7)

На малых частотах, при которых круговая частота сигнала много меньше собственной круговой частоты полюса передаточной функции, т.е. , выражение для значительно упрощается и аппроксимируется выражением:

(1.8)

На высоких частотах, при которых круговая частота сигнала много больше собственной круговой частоты полюса передаточной функции, т.е. , выражение для также упрощается, и соответствующая аппроксимация имеет вид:

(1.9)

Иллюстрации точных и аппроксимированных зависимостей от частоты коэффициента передачи и разности фаз между входным и выходным сигналами представлены на рис. 1 (b) и 1 (с) соответственно.

Примеры расчета передаточных функций простейших активных

линейных схем аналоговой обработки сигналов

Операционный усилитель (ОУ) является ядром схем, выполняющих математические операции с аналоговыми сигналами. Приведем простые примеры использования ОУ в функциональных блоках, производящих математические операции с аналоговым сигналом, с целью получения с помощью уравнений Кирхгофа передаточных функций этих блоков. Из анализа передаточных функций будет с очевидностью ясна роль величины дифференциального коэффициента усиления ОУ.

В приведенных ниже примерах ОУ рассматривается как линейная субсистема со своей передаточной функцией . Модуль передаточной функции, являющийся коэффициентом усиления усилителя, уменьшается при увеличении частоты сигнала, однако в области частот, меньших частоты первого полюса (низкочастотный режим), модуль коэффициента усиления можно считать постоянным и равным максимальному значению , а разность фаз между входным и выходным сигналами можно считать равной нулю. При этом условии передаточная функция вырождается в единственное действительное число .

Итак, пусть используемые в примерах входной (и, соответственно, выходной) сигнал ОУ имеют низкие частоты, а также постоянные и конечные значения дифференциальных коэффициентов усиления, равные (так называемое «низкочастотное приближение»).