Свойства преобразования Лапласа

При осуществлении преобразования Лапласа и выполнении математических операций с оригиналами и изображениями используются следующие свойства преобразования Лапласа.

1. Линейность преобразования Лапласа.

,

где произвольные комплексные числа,F(p); (p)– изображения оригиналовf(p)и (t)соответственно.

Изображение линейной комбинации оригиналов равно такой же линейной комбинации их изображений.

2. Дифференцирование оригинала

n – кратному дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на pⁿ.

3. Интегрирование оригинала

Интегрированию интеграла в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.

4. Смещение аргумента оригинала

, при этом, если.

Смещению аргумента оригинала на соответствует умножение изображения на .

5. Смещение аргумента изображения

Смещению аргумента изображения на соответствует умножение оригинала .

6. Умножение изображений (теория свертывания)

Операция называется сверткой.

Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений.

Переход от изображения к оригиналу осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа, выполняемого с использованием формулы обращения:

где С– абсцисса абсолютной сходимости, выбирается так, чтобы все полюсы подынтегральной функции находились слева от нее (рис. 28). Всегда должно быть С>s₀. На рис. 28– полюсы функции-изображения.

Обозначениеобратного преобразования Лапласаосуществляется символомL^-1или 1/L.

.

Непосредственное использование формулы обращения вызывает значительные сложности. Для упрощения обратного перехода используются таблицы, приводимые в справочниках, и специальные приемы.

Так, если функция-изображение является дробной функцией: , то при выполнении обратного преобразования Лапласа примениморазложение Хевисайда. Пусть функцияимеетm полюсов(корней уравненияB(p)=0), тогда

Пример. Выше мы получили для постоянной величины

Осуществим обратное преобразование Лапласа, используя разложение Хевисайда. В этом случае A(p)=A,B(p)=p, p_k=0, m=1,

, следовательно,

В результате обратного преобразования с использованием разложения Хевисайда получена постоянная величина А, что и следовало ожидать.