Критерий устойчивости Михайлова

Для применения критерия Михайлова необходимо иметь характеристический полином замкнутой системы. Если передаточная функция замкнутой системы , то характеристический полином

.

Характеристический полином преобразуется в характеристический комплексподстановкой:

.

Критерий Михайлова формируется следующим образом: замкнутая система будет устойчива, если полное приращение аргумента характеристического комплекса при изменении частотыот 0 доравно, гдеn степень характеристического полинома .

Для проверки выполнения требований критерия строится годограф характеристического комплекса на комплексной плоскости. Этот годограф называют также кривой Михайлова. При выполнении требований критерия Михайлова кривая Михайлова будет соответствовать следующим требованиям:

• кривая имеет плавную спиралевидную форму,

• последовательно проходит через квадранты комплексной плоскости,

• уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степениn характеристического полинома.

Кривая Михайлова строится по точкам для разных частот . Вид кривых Михайлова для устойчивых систем порядков 2, 3 и 5 показан на рис. 89а. Любое нарушение требований к виду кривой Михайлова для устойчивой системы говорит о неустойчивости системы. Пример кривой Михайлова для неустойчивой системы третьего порядка показан на рис. 89б. В том случае кривая перескакивает из первого квадранта в четвёртый и нарушается последовательность прохождения кривой квадрантов комплексной плоскости.

Условием нахождения системы на границе устойчивости по Михайлову является равенство нулю характеристического комплекса

. Это условие можно записать в виде двух условий:и. В таком виде условие граничной устойчивости по Михайлову часто используется при анализе систем автоматического управления.

Для систем, находящихся на границе устойчивости, кривая Михайлова будет проходить через начало координат. Примеры кривых Михайлова для систем, находящихся на границе устойчивости, показаны на рис. 90. Кривая 1, проходящая через начало координат, соответствует колебательной границе устойчивости, а кривая 2, начинающаяся в начале координат,апериодической границе устойчивости системы.

Применение критерия Михайлова требует специальных построений годографа характеристического комплекса системы, который для других исследований системы не используется. В этом отношении критерий Найквиста проще, поскольку использует АФЧХ разомкнутой системы, которая может быть использована и в других исследованиях. Однако условие граничной устойчивости системы по Михайлову применяется, например, при исследовании области устойчивости системы автоматического управления.