4. Проверка на устойчивость методами Гурвица и ЛАЧХ-ЛФЧХ. Оценка быстродействия системы относительно заданного значения. Определение граничного коэффициента усиления

Рассмотрим основные понятия, и определения данного раздела.

Устойчивость - это способность системы, выведенной из состояния равновесия под влиянием возмущающих и управляющих воздействий, с течением времени прийти в равновесное состояние. Устойчивость системы - это свойство, которым должна обладать любая автоматическая система. Поэтому, так важен анализ системы на устойчивость. Исследование системы на устойчивость может быть выполнено с помощью алгебраических и частотных критериев.

Характеристическое уравнение - полином знаменателя передаточной функции, приравненный к нулю:

. (4.1)

Критерии устойчивости - правила, которые позволяют определить устойчивость системы, минуя вычисление корней сложного характеристического уравнения. Они позволяют не только установить, устойчива ли система, но и выяснить влияние параметров системы, влияние структурных изменений на устойчивость системы. Их подразделяют на алгебраические и частотные. Критерии, которые позволяют определить, устойчива ли система с помощью алгебраических процедур над коэффициентами характеристического уравнения, называются алгебраическими. К ним относятся критерии Рауса, Гурвица и др. Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по частотным характеристикам. Эти критерии являются графоаналитическими и получили широкое распространение благодаря простой геометрической интерпретации и наглядности. К частотным критериям относятся критерии Михайлова и Найквиста, методы ЛАЧХ-ЛФЧХ [3].

Критерий устойчивости Гурвица - это критерий в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения. Главный определитель Гурвица строится из коэффициентов характеристического уравнения:

(4.2)

Определителей составляется - порядок уравнения линейной системы. Определители Гурвица низшего порядка получают из (4.2) путем отчеркивания диагональных миноров:

, , , (4.3)

Правила составления определителей Гурвица:

1) характеристическое уравнение приводится к виду, при котором ;

2) число строк и столбцов определителя равно ;

3) по диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения от до ;

4) слева от диагонали располагаются коэффициенты с убывающими индексами, справа - с возрастающими. Левее пишутся нули;

5) все коэффициенты с индексами, значения которых больше степени характеристического уравнения, замещаются нулями.

Критерий устойчивости Гурвица: линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения и все определителей Гурвица положительны

Методика построения: имеем систему координат - по оси абсцисс откладываем значения в "декадах", а по оси ординат - значения в "дБ". Нанесем на ось абсцисс значения частот сопряжения в том порядке, в котором они расположены - возрастания. Построение ЛАЧХ начнем из начала координат (т.к. ), и будем вести ее по оси абсцисс до первой частоты сопряжения . Затем, используя правило - частота "в числителе" дает , а частота "в знаменателе" дает , будем продолжать ЛАЧХ от частоты сопряжения к частоте, прибавляя или отнимая по в соответствии с выше изложенным аспектом построения. На рисунке 4.1 изображена ЛАЧХ.

На рисунке ЛФЧХ построена по точкам, полученным в результате суммирования значений пересечения "тангенсоид" на каждой частоте среза. Эти "тангенсоиды" откладываются в интервалах либо , либо в зависимости от того, "в числителе" или "в знаменателе" находится частота сопряжения, через которую и проходит график "тангенсоиды".