Анализ и синтез электрических фильтров
2. Разложение периодического сигнала на гармоники
В данном случае необходимо разложить периодический сигнал (напряжения) в тригонометрический ряд Фурье.
,
где
,
,
- период,
, - функции, составляющие ортогональный базис.
Разложение справедливо для периодических функций (), заданных на всей числовой оси до .
Данную функцию нельзя разложить в тригонометрический ряд Фурье, так как она не периодическая. Доопределим данную функцию на всю числовую ось (рис. 2.1). В данном случае функция не является ни чётной, ни нечётной. Для такого сигнала справедливо общее разложение, содержащее постоянную составляющую, косинусы и синусы.
Кроме периодичности полученная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле:
1. она непрерывна на отрезке и имеет конечное число точек разрыва первого рода;
2. она имеет конечное число экстремумов на этом отрезке.
Следовательно, к полученной функции можно применить разложение в тригонометрический ряд Фурье.
Рис. 2.1
Запишем аналитическое выражение для данной функции:
Вычислим с помощью пакета MATLAB 6.5(7.0) и m-file: Fourier.m коэффициенты Фурье для двадцати гармоник.
Таблица 2.1
Результатов вычислений:
Коэффициенты Фурье для данной функции F(x), заданной графически на отрезке [0,T]. |
||
Коэффициенты |
Коэффициенты |
|
A(0)= 75.000 A(1)= -20.264 A(2)= -10.132 A(3)= -2.252 A(4)= -0.000 A(5)= -0.811 A(6)= -1.126 A(7)= -0.414 A(8)= -0.000 A(9)= -0.250 A(10)= -0.405 A(11)= -0.167 A(12)= -0.000 A(13)= -0.120 A(14)= -0.207 A(15)= -0.090 A(16)= -0.000 A(17)= -0.070 A(18)= -0.125 A(19)= -0.056 A(20)= -0.000 |
B(1)= 52.095 B(2)= -15.915 B(3)= 8.359 B(4)= -7.958 B(5)= 7.177 B(6)= -5.305 B(7)= 4.134 B(8)= -3.979 B(9)= 3.787 B(10)= -3.183 B(11)= 2.726 B(12)= -2.653 B(13)= 2.568 B(14)= -2.274 B(15)= 2.032 B(16)= -1.989 B(17)= 1.943 B(18)= -1.768 B(19)= 1.619 B(20)= -1.592 |
Частота первой гармоники: .
Таким образом мы получили разложение:
.
Рис 2.2 График напряжения на входе