Анализ следящей системы
3.3 Исследование системы на устойчивость с помощью критерия Найквиста
Частотный критерий устойчивости (критерий Найквиста) основывается на частотных характеристиках разомкнутой цепи САУ и дает правила, согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой.
Различают три случая применения критерия Найквиста:
Ш разомкнутая цепь устойчива;
Ш разомкнутая цепь системы находится на границе устойчивости:
Ш разомкнутая цепь неустойчива.
Система, устойчивая в разомкнутом состоянии. Передаточная функция разомкнутой цепи записывается в виде:
(3.3.1)
Введем вспомогательную функцию:
(3.3.2)
где - характеристический многочлен замкнутой САУ, - характеристический многочлен разомкнутой системы.
Подставив , получим
(3.3.3)
По критерию Михайлова требуется, чтобы при было равно , т.к. предполагается, что замкнутая цепь устойчива. Т.к. система должна быть устойчивой в замкнутом состоянии, то при . Тогда, изменение аргумента должно быть равно:
(3.3.4)
Это означает, что годограф не должен охватывать начало координат.
Вернемся к :
(3.3.5)
которая представляет АФЧХ разомкнутой цепи.
Отсюда, можно сформулировать частотный критерий Найквиста: если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой цепи не охватывала точку .
Построим АФЧХ нашей системы автоматического регулирования.
.
Для построения годографа Найквиста берем следующие значения переменных:
Ш коэффициент передачи прямой цепи 100;
Ш коэффициент передачи 0,2;
Ш ;
Ш 60;
Ш = 0.4;
Ш 40
Тогда, передаточная функция примет следующий вид:
Годограф называют диаграммой Найквиста. Диаграмму можно строить в декартовых () или в полярных координатах (рис.3.3.1 а, б).
Рис.3.3.1 а), б). Годограф Найквиста в декартовых и полярных координатах.
Расстояние от начала координат до точки на диаграмме равно , а расстояние от критической точки (-1; j0) до точки на диаграмме равно . В практически реализуемых системах САУ уменьшается с ростом частоты, хотя не всегда монотонно, а на высоких частотах стремится к 0.
Слишком близко к критической точке (-1; j0) диаграмма Найквиста проходить не должна, иначе усиление САУ, в противном случае усиление САУ на этой частоте будет слишком большим, что приведет к нестабильности системы.
Диаграмму Найквиста обычно строят в логарифмической плоскости в прямоугольной системе координат для фазы и усиления по петле (на -плоскости) Лурье Б.Я., Энрайт П. Дж. Классические методы анализа и синтеза систем автоматического управления / Под ред.А. А. Ланнэ. - С. - Петербург: «БХВ - Петербург», 2004. - С. 24.
Рис.3.3.2 Годограф Найквиста на логарифмической плоскости
Построим годограф Найквиста на логарифмической плоскости с помощью программы MathLab 6.5.
Годограф Найквиста в декартовых координатах представлен на рис.3.3.3.
Рис.3.3.3 Годограф Найквиста
Из рис.3.3.3 видно, что построенный годограф проходит очень далеко от критической точки, справа от нее, следовательно система является устойчивой.