Разработка системы управления технологическим сегментом сети

дипломная работа

3.1 Основные виды СПС

Одним из методов аналитического конструирования СПС является метод фазового пространства. Поэтому рассмотрим некоторые особенности фазового пространства линейных структур и некоторые идеи, положенные в основу построения СПС.

Пусть линейная система описывается линейным дифференциальным уравнением:

,

где - ошибка или отклонение в системе с обратной связью.

Исследуем вопрос об устойчивости различных движений в системе в фазовом пространстве

,

где -фазовые координаты системы, причём

.

Если -корни характеристического уравнения, то для каждой фазовой координаты можно записать

Система будет устойчивой, если вещественные части всех корней отрицательны, а фазовые траектории стягиваются к началу координат.

Отметим существенную особенность линейной структуры, неустойчивость в которой вызвана тем, что один из корней характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть - . Если при этом

то в фазовом пространстве системы существует совокупность устойчивых траекторий, по которым изображающая точка асимптотически приближается к началу координат.

Действительно, если начальные условия таковы, что постоянная интегрирования , то

Если , то все фазовые координаты являются линейно зависимыми, что означает, что можно подобрать такие числа , что

Это уравнение задает в фазовом пространстве некоторую гиперповерхность S.

Следовательно, совокупность устойчивых траекторий линейной структуры, в случае, если характеристическое уравнение имеет один положительный корень, образует гиперповерхность в фазовом пространстве системы.

Поясним указанные особенности такой линейной структуры на примере уравнений второго порядка. Для анализа возьмем уравнения, описывающие изменение скорости в ранее рассмотренном управляемом объекте при условии, что в качестве управляющего устройства применяется пропорционально - дифференциальный регулятор.

Уравнения для рассогласования в этом случае запишутся без учёта нелинейного элемента следующим образом:

400(в2ч.ве2) + (8 + 2л2) (вч.ве) + (1 + 2л1)ч = 0б

или

2ч.ве2) + (0ю02 + 0ю005л2)(вч.ве) + (0ю0025 + 0ю005л1)ч = 0

Рассчитаем и в уравнении вида:

л2 + (0.02 + 0.005k2)л + (0.0025 + 0.005k1) = 0

Для получения фазовой траектории типа “седло” необходимо, чтобы корни характеристического уравнения были вещественными, но разных знаков.

л2 + (0.02 + 0.005k2)л + (0.0025 + 0.005k1) = 0

Для того, чтобы корни характеристического уравнения были вещественными и имели разные знаки, необходимо, чтобы выполнялись условия:

Из первого неравенства получаем:

Из второго неравенства получаем:

Возьмем .

Тогда:

Тогда пусть , а корни характеристического уравнения

Движение в примере начинается с начальных значений фазовых координат:

(17;-15)

(-17; 15)

(-14,8; 17)

(14.8;-17)

Рис. 15 Структурная схема системы с устойчивым вырожденным движением

Рис. 16. Фазовые траектории вида «седло»

Решения уравнения запишутся следующим образом:

Если начальные условия для решений выбрать так, что , то или

,

а для нашего примера получим:

Это уравнение прямой на фазовой плоскости, наклон которой равен с учётом знака, которая проходит во втором и четвёртом квадрантах. Эта прямая и является совокупностью устойчивых фазовых траекторий для неустойчивой системы второго порядка. Если в начальный момент времени изображающая точка находится на прямой S, то она будет асимптотически приближаться к началу координат. В то же время необходимо отметить, что любые сколь угодно малые возмущения могут отклонить точку от устойчивой траектории S и в системе возникает неустойчивое движение. По этой причине движение, происходящее по траекториям, принадлежащим гиперплоскости устойчивых движений, принято называть вырожденным.

Эта особенность фазового пространства линейных систем позволяет наметить один из возможных принципов построения систем с переменной структурой.

Делись добром ;)