2.1 Цель работы

1. Экспериментальное и расчетное определение эквивалентных параметров цепей переменного тока, состоящих из различных соединений активных, реактивных и индуктивно связанных элементов.

2. Применение символического метода расчета цепей синусоидального тока.

3. Расчет цепей с взаимной индукцией

4. Проверка баланса мощностей

5. Исследование резонансных явлений в электрических цепях

6. Построение векторных топографических диаграмм.

2.2 Теоретические сведения

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону:

,

где - максимальное значение или амплитуда тока;

- угловая частота

- полная фаза колебания;

- начальная фаза.

Угловая частота , частота и период T связаны соотношением:

.

Проекция вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью вектора на вертикальную ось изменяется во времени по синусоидальному закону. Поэтому любая синусоидальная функция (ток, напряжение, ЭДС) может быть изображена вектором.

При проведении расчета очень удобным оказывается рассмотрение вращающегося вектора на комплексной плоскости. В этом случае вектор можно представить как комплексную амплитуду тока , а сам синусоидально изменяющийся ток I - как мнимую часть произведения комплексной амплитуды на :

.

Тогда при t=0 можно записать:

.

На практике широкое распространение получил символический метод расчета цепей синусоидального тока.

Сущность данного метода состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных значений, к алгебраическим, составленным относительно комплексов амплитудных значений тока , напряжения , и ЭДС либо их действующих значений , и . Например, если

,

то комплексное действующее значение напряжения

,

где .

Рис. 13 Схема цепи с реактивными элементами

Аналогично осуществляется запись комплексов действующих значений величин ЭДС и тока. Например, для схемы (рис. 13) уравнение для мгновенных значений напряжений, составленное по второму закону Кирхгофа, запишется следующим образом:

, или .

Переходя к комплексным действующим значениям напряжений, получим:

,

где R - активное сопротивление цепи,

- комплексное индуктивное сопротивление цепи,

- комплексное емкостное сопротивление цепи.

Множитель свидетельствует о том, что вектор напряжения на индуктивности L опережает вектор тока на . Множитель свидетельствует о том, что вектор напряжения на емкости С отстает от вектора тока на . На активном сопротивлении R векторы напряжения и тока совпадают по направлению.

Величина называется комплексным сопротивлением цепи (рис. 13), а - ее комплексной проводимостью, где G и B - активная и реактивная составляющие проводимости цепи.

Комплексные числа записываются в одной из следующих форм:

алгебраическая - ;

показательная - ;

тригонометрическая - ;

полярная - .

Геометрически любому комплексному числу можно сопоставить в соответствие точку комплексной плоскости с координатами x=a, y=jb или радиус-вектор длиной A единиц, проведенный из начала координат в точку A и расположенный под углом ? к оси абсцисс. Из рисунка очевидны формулы перехода из одной формы записи комплексного числа к другой:

Алгебраическая форма применяется при сложении и вычитании комплексных чисел, а показательная - при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня. Умножении числа на мнимую единицу сводится к повороту вектора на угол 900 против часовой стрелки, умножение на - к повороту на угол 900 по часовой стрелке, а умножение на -I соответствует повороту на .

Полное комплексное сопротивление цепи и ее участков (R, L и С) геометрически связаны треугольником сопротивлений:

а) если , то

б) если , то , где

Расчет электрической цепи в комплексной форме требует записи одного и того же комплексного числа в алгебраической и показательной формах.

Рассмотрим несколько примеров.

Векторные диаграммы

Представление комплексных величин на комплексной плоскости векторами дает возможность строить векторные диаграммы токов и напряжений в цепях синусоидального тока. Топографическая диаграмма позволяет проверить правильность расчетов и дает наглядное представление о фазовых сдвигах между напряжениями и токами.

Перед построением диаграммы предварительно выбираются положительное направление тока в цепи, а так же масштабы напряжений и токов на комплексной плоскости.

Для токов обычно строится лучевая диаграмма, когда токи откладываются из одной точки.

Для напряжений обычно строится топографическая диаграмма, на ней напряжения элементов откладываются в той же последовательности, как эти элементы расположены на схеме. Обход контура выбирают против положительного направления тока. На комплексной плоскости стрелка указывает в сторону большего потенциала. Сложение всех векторов напряжений дает входное напряжение цепи.

Цепи с индуктивно связанными элементами

В любой цепи переменного тока между катушками индуктивности существует взаимодействие, которое характеризуется величиной взаимной индуктивности M.

Если токи в катушках протекают в одном направлении относительно зажимов, то магнитный поток самоиндукции катушки совпадает с магнитным потоком взаимоиндукции. Такое включение катушек называется согласным. В этом случае напряжение взаимоиндукции прибавляется к напряжениям на соответствующих индуктивностях.

В противном случае включение катушек встречное. Напряжение взаимоиндукции вычитается из соответствующих напряжений на индуктивностях.

Начальный зажим на схемах помечается точкой.

Взаимная индуктивность рассчитывается по формуле:

,

где M - взаимная индуктивность, Гн;

Lс -индуктивность цепи при согласном включении, Гн;

Lв - индуктивность цепи при встречном включении, Гн.

Магнитная связь катушек характеризуется коэффициентом связи, который рассчитывается по формуле:

,

где K - коэффициент связи;

L1 - индуктивность первой катушки, Гн;

L2 - индуктивность второй катушки, Гн.

Резонанс в электрических цепях

Признаком резонанса в электрической цепи, содержащей индуктивности и емкости, является совпадение по фазе напряжения и тока на ее входе.

При последовательном соединении индуктивности и емкости или при последовательном соединении участков, содержащих индуктивность и емкость, возможен резонанс напряжений.

При резонансе напряжений индуктивное сопротивление цепи компенсируется емкостным, в результате входные реактивные сопротивление и мощность равны нулю, напряжения на реактивных элементах могут значительно превышать входное.

При параллельном соединении индуктивности и емкости или при параллельном соединении участков, содержащих индуктивность и емкость, возможен резонанс токов.

При резонансе токов индуктивная проводимость цепи компенсируется емкостной, в результате реактивная проводимость и реактивная мощность на входе цепи равна нулю, токи в реактивных элементах могут значительно превышать входной ток.

Частота, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. При исследовании резонансных режимов обычно определяется резонансная частота, значения индуктивности или емкости, при которых на заданной частоте возникает резонанс, а также рассчитываются частотные характеристики - зависимости токов, напряжений, сопротивлений, проводимостей от частоты.

2.3 Экспериментальная часть

Исследование элементов цепи в отдельности.

Собираем схему для определения параметров элементов цепи по методу трех приборов (вольтметра, амперметра, ваттметра), изображенную на рис. 14. Напряжение в схеме регулируется лабораторным автотрансформатором (ЛАТР).

Рис. 14 Схема для определения параметров цепи по методу трёх приборов

Поочередно подключаем к выходным зажимам 2 - 2/ схемы реостат, катушки индуктивности и конденсатор (элементы 1, 2, 3, 4 рис. 15).

Рис. 15 Эквивалентные схемы элементов стенда

Произведенные измерения токов, напряжений, и мощностей заносим в таблицу.

Исследование цепи с элементами, соединенными последовательно.

Присоединяем к зажимам 2 - 2/ схемы (см. рис. 14) последовательно включенные конденсатор, реостат, катушки индуктивности (элементы 4, 1, 2, 3, рис. 15).

Произведенные измерения тока, напряжения, и мощности заносим в таблицу.

Рис. 16 Схема с последовательно включенными элементами.

Параметры элементов

Таблица 7

С помощью осциллографа определяем действующее значение тока I и заносим полученное значение в таблицу 8. Вычисляем амплитуду тока по известным значениям амплитуды напряжения и сопротивления R1: , а затем и действующее его значение: . Определяем с помощью осциллографа максимальное значение напряжения на первой катушке (канал II) и заносим полученное значение в таблицу: .

Определяем период T, частоту f тока в цепи, фазовый сдвиг ц между напряжением и током катушки 1. Результат измерения угла ц заносим в таблицу.

Значения электрических величин при последовательном соединении элементов

Таблица 8

Исследование цепи со смешанно соединенными элементами.

Собираем схему смешанного соединения элементов (рис. 17)

Рис. 17 Схема смешанного соединения элементов

и подключаем ее к зажимам 2 - 2/ схемы, приведённой на рис. 14. Измеряем ток, напряжение и активную мощность, результаты заносим в таблицу.

Значения электрических величин при смешанном соединении элементов

Таблица 9

Исследование цепей с взаимной индукцией.

Подключаем к зажимам 2 - 2/ схемы, приведённой на рис. 14 последовательно включенные катушки индуктивности (рис. 18). При одном и том же напряжении проводим измерения тока и активной мощности для трех случаев:

a) согласное включение;

b) встречное включение;

c) отсутствие магнитной связи (М = 0) - катушки разнесены или их оси перпендикулярны.

Рис. 18 Схема включения катушек с взаимной индуктивностью.

При встречном включении ток по величине больше, чем при согласном. Измеренные значения токов, напряжений и мощностей заносим в таблицу.

Параметры элементов

Таблица 10

Исследование явления резонанса в электрических цепях.

a) Исследование явления резонанса напряжений в электрических цепях.

Подключаем к зажимам 2 - 2/ схемы, приведённой на рис. 14 последовательно включенные конденсатор и реостат с катушкой индуктивности (рис. 19).

Из условия для входного реактивного сопротивления находим величину резонансной емкости Срез.

Рис. 19 Схема для исследования явления резонанса напряжений в электрических цепях

При одном и том же входном напряжении измеряем ток и мощность для трех значений емкости: С < С рез, С = С рез, С > С рез, фазовый сдвиг между апряжением и током (по осциллографу), напряжения на участках ab, bc и ac. Результаты заносим в таблицу.

Значения электрических величин при резонансе напряжений

Таблица 11

b) Исследование явления резонанса токов в электрических цепях.

Подключаем к зажимам 2 - 2/ схемы, приведённой на рис. 14 реостат и параллельно включенные конденсатор с катушкой индуктивности (рис. 20).

Рис. 20 Схема для исследования явления резонанса токов в электрических цепях

Из условия для входной реактивной проводимости находим величину резонансной емкости Срез.

При одном и том же входном напряжении измеряем ток и мощность для трех значений емкости: С < С рез, С = С рез, С > С рез, фазовый сдвиг между напряжением и током (по осциллографу). Результаты заносим в таблицу.

Значения электрических величин при резонансе токов

Таблица 12

2.4 Расчетная часть

Рассчитаем параметры элементов стенда по отдельности по измеренным значениям тока, напряжения и активной мощности в них:

Абсолютное значение угла сдвига фаз определяется по формуле:

,

при этом для индуктивных элементов , а для емкостных .

По известным значениям реактивного сопротивления XL и XС можно определить параметры реактивных элементов:

, .

Подставляя в расчетные формулы значения токов и напряжений, полученные из опыта, получим:

1. Для реостата R (ввиду конструктивных особенностей - длинный провод, намотаный на каркас, считаем, что его реактивное сопротивление носит индуктивный характер):

2. Для катушки 1 (№18) и катушки 2(№22):

3. Для конденсатора:

Определим комплексное входное сопротивление цепи на рис. 16:

Найдем ток в цепи, полную, активную, реактивную мощность и напряжения на зажимах первой катушки:

Определим комплексное входное сопротивление цепи на рисунке 17, принимая, что амперметры имеют чисто активное сопротивление 1 Ом:

Теперь рассчитаем токи в ветвях схемы и напряжение на параллельно включенных элементах 3 и 4. После расчета проверяем баланс мощностей:

По результатам расчета убеждаемся, что баланс мощностей выполняется.

Рассчитаем эквивалентные параметры цепи и угол сдвига фаз между током и напряжениям для трех видов включения катушек.

А) для согласного включения:

Б) для встречного включения:

В) при отсутствии магнитной связи:

Рассчитаем взаимную индуктивность и коэффициент магнитной связи между катушками:

По известным данным элементов теоретически рассчитаем сопротивления катушек, охваченных магнитной связью и токи в них (включение катушек согласное):

Проведем аналогичные расчеты для встречного включения катушек:

Рассчитаем ток и индуктивность для случая с отсутствием магнитной связи:

Построим векторные диаграммы напряжений при последовательном и смешанном соединении элементов.

А) При последовательном соединении: рассчитаем токи и напряжения на всех элементах:

Для наглядности на графике вектор тока увеличен в 100 раз.

Рис. 21 Векторная диаграмма напряжений для схемы на рис. 16

Б) Рассчитаем токи и напряжения на элементах цепи при смешанном соединении элементов. Сопротивления амперметров полагаем активным, величиной 1 Ом.

По результатам расчетов строим векторную диаграмму напряжений для схемы на рис. 17 (векторы тока на этой диаграмме изображены увеличенными в сто раз):

Рис. 22 Векторная диаграмма напряжений для смешанного включения элементов

Аналогичным образом строится и векторная диаграмма напряжений для трех видов включения катушек (рис. 18) (согласное, встречное, отсутствие магнитной связи между катушками; диаграммы построены по результатам теоретического расчета параметров элементов).

А) Согласное включение (ток в катушках для каждого вида включения рассчитан ранее):

Рис. 23 Векторная диаграмма напряжений для согласного включения катушек

Б) Встречное включение

Рис. 24 Векторная диаграмма напряжений для встречного включения катушек

В) Отсутствие магнитной связи:

Рис. 25 Векторная диаграмма напряжений для индуктивно не связанных катушек

Построим векторную диаграмму напряжений для схемы на рис. 19 (на этих диаграммах вектор тока увеличен в 30 раз)

А) Для случая, если емкость конденсатора меньше резонансной (С=18,3 мкФ):

Рис. 26 Векторная диаграмма напряжений для случая, если емкость конденсатора меньше резонансной

Б) Для случая резонанса (C=Cрез=28,3 мкФ):

Рис. 27 Векторная диаграмма напряжений для случая резонанса

В) Для случая, если емкость конденсатора больше резонансной (С=38,3 мкФ):

Рис. 28 Векторная диаграмма напряжений для случая, если емкость конденсатора больше резонансной

Построим векторные диаграммы для схемы на рис. 20.

А) Емкость конденсатора в схеме меньше расчетного значения и равна его половине (для первой катушки расчетное значение емкости для достижения параллельного резонанса Ф). В данном расчете считаем амперметры идеальными - их полное сопротивление равно 0. Действующее входное напряжение - 84 вольта, начальная фаза напряжения 0 градусов.

Рассчитаем токи в ветвях данной схемы:

Рис. 29 Векторная диаграмма напряжений для случая, если емкость конденсатора меньше резонансной

Б) Емкость конденсатора в схеме равна расчетному значению, при котором возникает резонанс токов.

Токи в ветвях схемы при этом можно найти по формулам:

Рис. 30 Векторная диаграмма напряжений для случая резонанса

В) Емкость конденсатора в схеме в 2 раза больше расчетного значения. Токи в схеме при этом выразятся так:

Рис. 31 Векторная диаграмма напряжений для случая, если емкость конденсатора больше резонансной

3. Исследование цепей несинусоидального тока