Расчет характеристик системы связи

6. Расчет графиков спектров модулирующего и модулированного сигналов

Спектром сигнала называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала от частоты этих гармоник. Спектр периодического сигнала - это зависимость коэффициентов ряда Фурье от частот гармоник, которым эти коэффициенты соответствуют. Исходя из определения, найдём амплитуды гармоник спектра модулирующего сигнала

где k - номер гармоники; значение её круговой частоты; - значение обычной частоты.

Подставляя в формулу в качестве сигнала d(t) периодическую последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой =1 В и скважностью Q=3, после интегрирования, получаем:

для k=1,2,… и

для нулевой гармоники k=0.

Амплитуды гармоник модулирующего сигнала.

k	F_к, [Гц]	A_к, [B]
0	0	0,333
1	333,33	0,551
2	666,67	0,276
3	1000,00	0,000
4	1333,33	0,138
5	1666,67	0,110
6	2000,00	0,000
7	2333,33	0,079
8	2666,67	0,069
9	3000,00	0,000
10	3333,33	0,055
11	3666,67	0,050
12	4000,00	0,000
13	4333,33	0,042
14	4666,67	0,039
15	5000,00	0,000

Рис. Первичный сигнал и его спектр.

Построение спектра АМ сигнала.

Учитывая известную теорему о спектре произведения сигнала на гармоническое колебание, можно заключить, что спектр АМ сдвигается вправо по оси частот на частоту несущей, а форма спектра АМ будет повторять форму спектра модулирующего сигнала с точностью до множителя (1/2). То есть, для получения графика спектра необходимо:

взять из таблицы гармоники модулирующего сигнала, начиная с первой;

умножить амплитуды гармоник на 0.5:

расположить их на оси частот симметрично относительно частоты несущей:

нулевую гармонику без изменений её амплитуды разместить на частоте несущей.

Отметим, что физическое объяснение происхождения множителя 0.5 заключается в наличие двух боковых полос («верхней» и «нижней») у АМ спектра по сравнению со спектром модулирующего сигнала, поэтому амплитуды боковых гармоник уменьшаются в два раза.

k	F_к, [Гц]	A_к(AM), [B]
0	0	0,333
1	333,33	0,276
2	666,67	0,138
3	1000,00	0,000
4	1333,33	0,069
5	1666,67	0,055
6	2000,00	0,000
7	2333,33	0,039
8	2666,67	0,034
9	3000,00	0,000
10	3333,33	0,028
11	3666,67	0,025
12	4000,00	0,000
13	4333,33	0,021
14	4666,67	0,020
15	5000,00	0,000

На рисунке изображено:

а) модулирующий двоичный сигнал d(t); б) гармонический сигнал-переносчик (несущая частота); в) АМ сигнал; г) спектр АМ сигнала.

Построение спектра ЧМ сигнала.

Определим скважность:

- амплитуды гармоник:

Из свойства аддитивности спектров следует, что график спектра ЧМ ж) будет равен сумме графиков спектров д) и е) для составляющих и .

k	A(ЧM), [B]	A(ЧM)0, [B]
0	0,33333333	1,5
1	0,276	0,318
2	0,138	0,000
3	0,000	0,106
4	0,069	0,000
5	0,055	0,064
6	0,000	0,000
7	0,039	0,045
8	0,034	0,000
9	0,000	0,035
10	0,028	0,000
11	0,025	0,029
12	0,000	0,000
13	0,021	0,024
14	0,020	0,000
15	0,000	0,021

На рисунке изображено:

а) модулирующий двоичный сигнал d(t); б) ЧМ сигнал; в) составляющая ЧМ сигнала; г) составляющая ЧМ сигнала; д) спектр ; е) спектр ; ж) спектр ЧМ сигнала.

Построение спектра ОФМ сигнала.

ОФМ сигнал можно представить как произведение двух сигналов: б) и в). Причем промежуточный сигнал представляет собой последовательность разнополярных прямоугольных импульсов.

Учитывая теорему о спектре произведения сигнала на гармоническое колебание, можно заключить, что спектр ОФМ будет соответствовать спектру вспомогательного сигнала, сдвинутому вправо на частоту несущей.

При расчете гармоник вспомогательного сигнала будет удвоенная амплитуда (т.е. учесть двойной размах сигнала), а значения частот самих гармоник необходимо уменьшить в два раза (учитывается двойной период вспомогательного сигнала). Кроме того, нулевая гармоника вспомогательного сигнала будет равна 0, т.к. сигнал симметричен относительно нуля.

k	F(ФМ)/2	ФМ
0	-	0
1	167	1,103
2	333	0,551
3	500	0,000
4	667	0,276
5	833	0,221
6	1 000	0,000
7	1 167	0,158
8	1 333	0,138
9	1 500	0,000
10	1 667	0,110
11	1 833	0,100
12	2 000	0,000
13	2 167	0,085
14	2 333	0,079
15	2 500	0,000
16	2 667	0,069
17	2 833	0,065
18	3 000	0,000
19	3 167	0,058
20	3 333	0,055
21	3 500	0,000
22	3 667	0,050
23	3 833	0,048
24	4 000	0,000

На рисунке изображено:

а) модулирующий двоичный сигнал d(t); б) вспомогательный (виртуальный) модулирующий сигнал; в) гармонический сигнал-переносчик (несущая частота); г) ОФМ сигнал; д) спектр ОФМ сигнала.

Содержание