Расчёт характеристик системы связи
1.6 Расчет спектров модулирующего и модулированного сигналов
Спектром сигнала называют функцию, показывающую зависимость интенсивности различных гармоник в составе сигнала от частоты этих гармоник. Спектр периодического сигнала - это зависимость коэффициентов ряда Фурье от частот гармоник, которым эти коэффициенты соответствуют.
Исходя из определения, найдём амплитуды гармоник спектра модулирующего сигнала
,(28)
где k - номер гармоники; значение её круговой частоты; - значение обычной частоты.
Подставляя в формулу (28) в качестве сигнала d(t) периодическую последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой и скважностью Q, после интегрирования, получаем
(29)
для k=1,2,… и для нулевой гармоники k=0.
Для данного рассматриваемого варианта задания результаты расчета по формуле (29) при амплитуде 1В и скважности Q=4 приведены в таблице 1.6.1.
Таблица 1.6.1 - Амплитуды гармоник модулирующего сигнала
k |
Fk (Гц) |
Ak (В) |
|
0 |
0 |
0,2500 |
|
1 |
200 |
0,4502 |
|
2 |
400 |
0,3183 |
|
3 |
600 |
0,1501 |
|
4 |
800 |
0,0000 |
|
5 |
1000 |
0,0900 |
|
6 |
1200 |
0,1061 |
|
7 |
1400 |
0,0643 |
|
8 |
1600 |
0,0000 |
|
9 |
1800 |
0,0500 |
|
10 |
2000 |
0,0637 |
|
11 |
2200 |
0,0409 |
|
12 |
2400 |
0,0000 |
|
13 |
2600 |
0,0346 |
|
14 |
2800 |
0,0455 |
|
15 |
3000 |
0,0300 |
|
16 |
3200 |
0,0000 |
|
17 |
3400 |
0,0265 |
|
18 |
3600 |
0,0354 |
|
19 |
3800 |
0,0237 |
|
20 |
4000 |
0,0000 |
|
21 |
4200 |
0,0214 |
|
22 |
4400 |
0,0289 |
|
23 |
4600 |
0,0196 |
|
24 |
4800 |
0,0000 |
|
25 |
5000 |
0,0180 |
|
26 |
5200 |
0,0245 |
|
27 |
5400 |
0,0167 |
График модулирующего (первичного) сигнала, а также его амплитудный спектр, показан на рисунке 1.6.1 а) и 1.6.1 б) соотвественно.
а)
б)
Рисунок 1.6.1 - График и спектр модулирующего сигнала
Спектр АМ сигнала показан на рисунке 1.6.2. Процесс построения спектра АМ сигнала заключается в следующем. АМ сигнал представим как произведение двух сигналов: модулирующего двоичного сигнала и гармонического сигнала-переносчика (несущая частота). Учитывая известную теорему о спектре произведения сигнала на гармоническое колебание, можно заключить, что спектр АМ сдвигается вправо по оси частот на частоту несущей, а форма спектра АМ будет повторять форму спектра модулирующего сигнала с точностью до множителя (1/2). То есть, для получения графика спектра необходимо:
взять из таблицы 1.6.1 гармоники модулирующего сигнала, начиная с первой;
умножить амплитуды гармоник на 0.5:
расположить их на оси частот симметрично относительно частоты несущей:
нулевую гармонику без изменений её амплитуды разместить на частоте несущей.
Отметим, что физическое объяснение происхождения множителя 0.5 заключается в наличие двух боковых полос ("верхней" и "нижней") у АМ спектра по сравнению со спектром модулирующего сигнала, поэтому амплитуды боковых гармоник уменьшаются в два раза.
Рисунок 1.6.2 - Спектор АМ сигнала
Спектр ЧМ сигнала показан на рисунке 1.6.3. Идея построения спектра ЧМ строится на том факте, что график ЧМ сигнала может быть представлен суммой двух графиков: и составляющих АМ сигналов. Из свойства аддитивности спектров следует, что график спектра ЧМ сигнала будет равен сумме графиков спектров для составляющих и . Для нахождения промежуточных спектров и сигналов можно воспользоваться описанной выше методикой построения спектров АМ. Заметим, что скважность сигнала имеет дробный характер и равна 3/4, а скважность равна 4. Расчёты спектров промежуточных АМ сигналов проводятся, как и раньше, с использованием формулы (29) и сводятся в таблицу, аналогичную таблице 1.6.1.
Рисунок 1.6.3 - Спектр ЧМ сигнала