Синтез системы автоматического регулирования температуры бумажной массы
3. Исследование свойств объекта регулирования по каналам регулирования по каналам управления и возмущения по его математической модели в виде передаточной функции
Рассмотрим объект регулирования в виде «черного ящика». Входными воздействиями объекта будут: управляющее и возмущающее воздействия, а выходной переменной - управляемая переменная объекта.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 2. Модель объекта регулирования в виде «черного ящика»
Пусть передаточная функция объекта имеет вид:
(1)
где ко - коэффициент передачи объекта;
То - постоянная времени объекта;
ф о- запаздывание информации по рассматриваемому каналу.
Дифференциальное уравнение, соответствующее модели вида (1) будет представлено выражением:
(2)
Пусть объект регулирования представляет собой участок напускном устройстве, включая смесительный насос, и участок напускного устройства. Требуется поддерживать постоянное значение температуры бумажной массы. Канал передачи управляющего воздействия - «изменение степени открытия клапана на потоке воздуха- изменение температуры бумажной массы в напускном устройстве», канал передачи возмущающего воздействия - «Изменение давления пара - Изменение температуры бумажной массы в напускном устройстве». Управляемая переменная объекта - изменение температуры бумажной массы в напускном устройстве ДТ(t), оС.;
управляющее воздействие - изменение степени открытия клапана на потоке воздуха, %;
возмущающее воздействие - изменение давления пара,МПа.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 3. Модель объекта регулирования в виде «черного ящика» для рассматриваемого примера
Передаточная функция ОР по каналу управления имеет вид:
,
Численные значения параметров модели приводятся в задании на курсовое проектирование, в рассматриваемом примере
, To=11 мин, фo=3 мин.
Тогда
и соответствующее дифференциальное уравнение представлено выражением:
,
Где y(t) -температура бумажной массы в напускном устройстве,
x(t) - степень открытия клапана на потоке воздуха.
Найдем статическую модель объекта по каналу управления.
Статическая модель определяет соотношения между входной и выходной величиной элемента системы регулирования в установившемся режиме. Обычно эта зависимость выражается алгебраическим уравнением, которое получается из дифференциального, приравниванием к нулю всех производных. Проделав эти операции, получим:
где ?y? и ?x? - установившиеся значения входного и выходного сигналов.
Для рассматриваемого примера по каналу управления статическая модель ОР будет описываться выражением
Статическая характеристика изображена на рис.4. Так как объект является линейным звеном, то его статическая характеристика изображается в виде прямой линии с тангенсом угла наклона равным К0 =40 в диапазоне изменения входного и выходного сигналов.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 4 Статическая характеристика объекта
Найдем переходную и весовую функции объекта по каналу управления
Переходная функция h(t) определяется как переходный процесс на выходе звена при подачи на него вход единичного ступенчатого воздействия 1[t] при нулевых начальных условиях. Это воздействие имеет ту же размерность, что и физическая величина на выходе звена. Поэтому, что бы получить переходную функцию звена, нужно изменить его входной сигнала на одну единицу.
Как известно из теоретической части курса, переходная функция апериодического звена 1-го порядка с запаздыванием определяется выражением:
, (3)
размерность h(t) - размерность регулируемой величины.
Время окончания переходного процесса бесконечно большое. Поэтому для расчета переходной функции необходимо его приблизительно оценить.
Примерное время окончания переходного процесса можно найти из условия попадания кривой в 5-%-ную зону допустимой статической ошибки для апериодического звена 1 порядка, тогда
Шаг расчета должен быть удобным, чтобы с одной стороны число точек было не слишком большим и в тоже время по графику было удобно проследить характер изменения выходного сигнала, особенно при наличии запаздывания.
Для рассматриваемого примера
.
Время окончания переходного процесса
Шаг расчета выбираем равным величине запаздывания Дt=3мин.
Весовая функция w(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена на единичную импульсную функцию t при нулевых начальных условиях. Единичная импульсная функция является производной от единичной ступенчатой функции , поэтому размерность весовой функции равна размерности физической величины на выходе звена, деленной на время. Весовая функция w(t) определяется дифференцированием переходной функции 1-го порядка со звеном запаздывания.
Получаем:
,(4)или для нашего примера
.
Результаты расчета переходной и весовой функции представлены в таблице, по данным таблицы построены графики.
W(t) |
3,636364 |
2,768365 |
2,107557 |
1,604484 |
1,221494 |
0,929924 |
0,707952 |
|
H(t) |
0 |
9,547985 |
16,81687 |
22,35067 |
26,56356 |
29,77083 |
32,21253 |
|
t |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
0,538964 |
0,410313 |
0,312372 |
0,237809 |
0,181044 |
0,137829 |
0,104929 |
|
34,0714 |
35,48655 |
36,56391 |
37,3841 |
38,00852 |
38,48388 |
38,84578 |
|
24 |
27 |
30 |
33 |
36 |
39 |
42 |
АЧХ покажет, как пропустит объект сигналы входного воздействия различной частоты. Ордината графика АЧХ имеет размерность коэффициента передачи по рассматриваемому каналу. ФЧХ покажет фазовые сдвиги, вносимые звеном в выходной сигнал на различных частотах входного воздействия.
Выражения для частотных характеристик объекта по каналу управления могут быть получены из выражения частотной передаточной функции:
,(5)
тогда АЧХ объекта определяется из выражения:
, (6)
ФЧХ объекта определяется из выражения:
. (7)
Для нашего примера выражения (5), (6), (7) примут вид:
,(5*)
,(6*)
.(7*)
Частотную характеристику построена в диапазоне от 0 до 15пр
W |
0,000 |
0,025 |
0,050 |
0,075 |
0,100 |
0,125 |
0,150 |
0,175 |
|
АЧХ |
40,000 |
38,568 |
35,049 |
30,855 |
26,907 |
23,527 |
20,732 |
18,440 |
|
ФЧХ |
0,000 |
-0,343 |
-0,653 |
-0,915 |
-1,133 |
-1,317 |
-1,476 |
-1,617 |
0,200 |
0,225 |
0,250 |
0,275 |
0,300 |
0,325 |
0,350 |
0,375 |
|
16,552 |
14,985 |
13,670 |
12,555 |
11,600 |
10,775 |
10,056 |
9,424 |
|
-1,744 |
-1,862 |
-1,972 |
-2,077 |
-2,177 |
-2,273 |
-2,367 |
-2,458 |
АФЧХ можно построить по выражению частотных характеристик, если его записать в виде:
, (8)
Где
(9)
(10)
Результаты расчета и графика изменения АФЧХ приведены ниже
Частота w |
Вещественная часть U(w) |
Мнимая часть V(w) |
|
0 |
40 |
0 |
|
0,005 |
39,84197933 |
-2,791286364 |
|
0,01 |
39,37360058 |
-5,530916072 |
|
0,06 |
24,1204841 |
-23,08070244 |
|
0,12 |
6,868361082 |
-23,15720596 |
|
0,24 |
-4,963711127 |
-13,2711895 |
|
0,36 |
-7,244447897 |
-6,590298602 |
|
0,48 |
-7,070303576 |
-2,327131046 |
|
0,6 |
-5,973605439 |
0,471890659 |
|
0,72 |
-4,481819877 |
2,240674997 |
|
0,84 |
-2,868191401 |
3,208862563 |
|
0,96 |
-1,314329875 |
3,534549491 |
|
1,08 |
0,048413724 |
3,354788708 |
|
1,2 |
1,128626212 |
2,802951732 |
|
1,32 |
1,872642 |
2,011572599 |
|
1,44 |
2,263345303 |
1,108536743 |
|
1,56 |
2,317510621 |
0,210538656 |
|
1,68 |
2,080976298 |
-0,583890956 |
|
1,8 |
1,621761625 |
-1,200300677 |
|
1,92 |
1,021680461 |
-1,592216008 |
|
2,04 |
0,367244425 |
-1,742484292 |
|
2,16 |
-0,259257087 |
-1,661912214 |
|
2,28 |
-0,787639902 |
-1,385380859 |
|
2,4 |
-1,165939612 |
-0,965908795 |
|
2,52 |
-1,364233855 |
-0,467346567 |
|
2,64 |
-1,37590743 |
0,043488615 |
|
2,76 |
-1,216374633 |
0,504399174 |
|
2,88 |
-0,919541132 |
0,864339225 |
|
3 |
-0,532515239 |
1,088263492 |
|
3,12 |
-0,109241851 |
1,159873654 |
|
3,24 |
0,296184109 |
1,082089973 |
|
3,36 |
0,635770576 |
0,87533216 |
|
3,48 |
0,872778933 |
0,573929753 |
Рис. 7. Фрагмент расчета АФЧХ объекта регулирования
Рассмотрим канал по возмущающему воздействию
Пусть математическая модель объекта по каналу возмущения имеет вид:
Параметры модели:
- коэффициент передачи объекта( ?С/ МПа)
- постоянная времени (мин)
- запаздывание (мин)
Дифференциальное уравнение, соответствующее модели вида будет представлено выражением:
Численные значения параметров модели приводятся в задании на курсовое проектирование:
=1,5( ?С/ МПа)
=11(мин)
=3(мин)
Тогда математическая модель примет следующий вид:
А дифференциальное уравнение:
Найдем статическую модель объекта по каналу возмущения.
Статическая модель определяет соотношения между входной и выходной величиной элемента системы регулирования в установившемся режиме. Обычно эта зависимость выражается алгебраическим уравнением, которое получается из дифференциального, приравниванием к нулю всех производных. Проделав эти операции, получим:
где ?y?1 и ?Р? - значения входного и выходного сигналов.
Для рассматриваемого примера по каналу управления статическая модель ОР будет описываться выражением
Статическая характеристика изображена на рисунке ниже. Так как объект является линейным звеном, то его статическая характеристика изображается в виде прямой линии с тангенсом угла наклона равным =1,5 в диапазоне изменения входного и выходного сигналов.
Статическая характеристика объекта
Найдем переходную и весовую функци объекта по каналу возмущения.
Переходная функция h(t) определяется как переходный процесс на выходе звена при подачи на него вход единичного ступенчатого воздействия 1[t] при нулевых начальных условиях. Это воздействие имеет ту же размерность, что и физическая величина на выходе звена. Поэтому, что бы получить переходную функцию звена, нужно изменить его входной сигнала на одну единицу.
Как известно из теоретической части курса, переходная функция апериодического звена 1-го порядка с запаздыванием определяется выражением:
,
размерность h(t) - размерность регулируемой величины.
Время окончания переходного процесса бесконечно большое. Поэтому для расчета переходной функции необходимо его приблизительно оценить.
Примерное время окончания переходного процесса можно найти из условия попадания кривой в 5-%-ную зону допустимой статической ошибки для апериодического звена 1 порядка, тогда . Шаг расчета должен быть удобным, чтобы с одной стороны число точек было не слишком большим и в тоже время по графику было удобно проследить характер изменения выходного сигнала, особенно при наличии запаздывания.
Для рассматриваемого примера
.
Время окончания переходного процесса
.
Весовая функция w(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена на единичную импульсную функцию t при нулевых начальных условиях. Единичная импульсная функция является производной от единичной ступенчатой функции , поэтому размерность весовой функции равна размерности физической величины на выходе звена, деленной на время. Весовая функция w(t) определяется дифференцированием переходной функции 1-го порядка со звеном запаздывания.
Получаем:
,или для нашего примера
.
Результаты расчета переходной и весовой функции представлены в таблице, по данным таблицы построены графики.
W(t) |
0,136364 |
0,103814 |
0,079033 |
0,060168 |
0,045806 |
0,034872 |
0,026548 |
|
H(t) |
0 |
0,358049 |
0,630633 |
0,83815 |
0,996134 |
1,116406 |
1,20797 |
|
t |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
0,020211 |
0,015387 |
0,011714 |
0,008918 |
0,006789 |
0,005169 |
0,003935 |
|
1,277677 |
1,330746 |
1,371147 |
1,401904 |
1,425319 |
1,443146 |
1,456717 |
|
24 |
27 |
30 |
33 |
36 |
39 |
42 |
Выражения для частотных характеристик объекта по каналу управления могут быть получены из выражения частотной передаточной функции:
,
тогда АЧХ объекта определяется из выражения:
,
ФЧХ объекта определяется из выражения:
Частота пр, определяющая полосу частот пропускания объекта, находится из условия:
при щ=0.
Подставив исходные данные получим следующие выражения:
,
,
.
Частотную характеристику построена в диапазоне частот от 0 до 15пр. пр =1/Tв=0,09 мин
W |
0,000 |
0,090 |
0,180 |
0,270 |
0,360 |
0,450 |
0,540 |
0,630 |
0,720 |
0,810 |
|
АЧХ |
1,500 |
1,066 |
0,676 |
0,479 |
0,367 |
0,297 |
0,249 |
0,214 |
0,188 |
0,167 |
|
ФЧХ |
0,000 |
-1,050 |
-1,643 |
-2,056 |
-2,403 |
-2,721 |
-3,024 |
-3,317 |
-3,605 |
-3,889 |
0,900 |
0,990 |
1,080 |
1,170 |
1,260 |
1,350 |
1,440 |
|
0,151 |
0,137 |
0,126 |
0,116 |
0,108 |
0,101 |
0,095 |
|
-4,170 |
-4,449 |
-4,727 |
-5,003 |
-5,279 |
-5,554 |
-5,828 |
АФЧХ можно построить по выражению частотных характеристик, если его записать в виде:
,
Где
=
=
Результаты расчета и график изменения АФЧХ приведены ниже.
Частота w |
Вещественная часть U(w) |
Мнимая часть V(w) |
|
0 |
1,5 |
0 |
|
0,005 |
1,494074225 |
-0,104673239 |
|
0,01 |
1,476510022 |
-0,207409353 |
|
0,06 |
0,904518154 |
-0,865526342 |
|
0,12 |
0,257563541 |
-0,868395223 |
|
0,24 |
-0,186139167 |
-0,497669606 |
|
0,36 |
-0,271666796 |
-0,247136198 |
|
0,48 |
-0,265136384 |
-0,087267414 |
|
0,6 |
-0,224010204 |
0,0176959 |
|
0,72 |
-0,168068245 |
0,084025312 |
|
0,84 |
-0,107557178 |
0,120332346 |
|
0,96 |
-0,04928737 |
0,132545606 |
|
1,08 |
0,001815515 |
0,125804577 |
|
1,2 |
0,042323483 |
0,10511069 |
|
1,32 |
0,070224075 |
0,075433972 |
|
1,44 |
0,084875449 |
0,041570128 |
|
1,56 |
0,086906648 |
0,0078952 |
|
1,68 |
0,078036611 |
-0,021895911 |
|
1,8 |
0,060816061 |
-0,045011275 |
|
1,92 |
0,038313017 |
-0,0597081 |
|
2,04 |
0,013771666 |
-0,065343161 |
|
2,16 |
-0,009722141 |
-0,062321708 |
|
2,28 |
-0,029536496 |
-0,051951782 |
|
2,4 |
-0,043722735 |
-0,03622158 |
|
2,52 |
-0,05115877 |
-0,017525496 |
|
2,64 |
-0,051596529 |
0,001630823 |
|
2,76 |
-0,045614049 |
0,018914969 |
|
2,88 |
-0,034482792 |
0,032412721 |
|
3 |
-0,019969321 |
0,040809881 |
|
3,12 |
-0,004096569 |
0,043495262 |
|
3,24 |
0,011106904 |
0,040578374 |
|
3,36 |
0,023841397 |
0,032824956 |
|
3,48 |
0,03272921 |
0,021522366 |
регулирование температура бумажный полотно