4. Спектры непериодических сигналов

Пусть непериодический сигнал описывается функцией S(t), заданной на конечном интервале времени t1 < t < t2, которая удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема, т.е.

.

Последнее физически означает, что сигнал имеет конечную энергию.

Предположим, что сигнал S(t) превращен путем повторения его с произвольным периодом T > t2-t1 в периодический сигнал S1(t). Для этого сигнала применимо разложение в ряд Фурье:

Где

Коэффициенты An в этом случае будут тем меньше, чем больше интервал T, выбранный в качестве периода. Устремляя T к бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих. Количество входящих в ряд Фурье гармонических составляющих при этом будет бесконечно большим, так как при T, стремящемся к бесконечности, основная частота сигнала щ = 2р/Т стремится к нулю. Другими словами, расстояние между гармониками, равное основной частоте, становится бесконечно малым, а спектр - сплошным.

В результате при T сигнал S1(t) переходит в сигнал S(t), частота 1 уменьшается до d, a n1 превращается в текущую частоту . Заменяя суммирование интегрированием, получим

Внутренний интеграл, являющийся функцией частоты, называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой () сигнала S(t):

В общем случае, когда пределы t1 и t2 не уточнены

Таким образом, временное и частотное представления непериодических сигналов связаны между собой парой преобразований Фурье.

Комплексная спектральная плотность может быть представлена в следующих видах:

() = S()e-j()=A() + jB(),

где A() = B() =

S() =

() = arctg [B()/A()].

Функцию S() называют спектральной плотностью амплитуд непериодического сигнала, а функцию () - спектральной плотностью фаз.

В отличие от спектра периодического сигнала, спектр непериодического сигнала является сплошным (непрерывным). Размерность S() - амплитуда/частота, () - фаза/частота. На каждой конкретной частоте амплитуда соответствующей составляющей равна нулю. Поэтому можно говорить только об амплитудных гармонических составляющих, частоты которых заключены в малом, но конечном интервале частот , + d.

Подчеркнем, что связь между временным и частотным представлением сигнала, даваемая преобразованиями Фурье, существует только для спектральной плотности.