· определить переходный процесс

Принципиальная схема исходной САУ

Рисунок 1- Система автоматического регулирования положения механизма

Структурная схема исходной САУ

Рисунок 1.1-Стрктурная схема исходной САУ

Исходные данные

1. Исследование нелинейной системы

В данной главе нам необходимо провести анализ нелинейной системы, получив структурную схему нелинейной САУ и передаточную функцию линейной части нелинейной системы; оценить устойчивость по критериям Попова и Гольдфарба.

1.1 Схема нелинейной системы

Любую нелинейную систему можно представить в виде линейной части и нелинейного элемента.

Для анализа нелинейной системы используем метод гармонической линеаризации. Допущения метода гармонической линеаризации:

1. Структурная схема должна быть типовой.

2. Характеристика нелинейного элемента должна укладываться в секторе [0,k].

3. Статическая характеристика нелинейного элемента должна быть симметрична относительно начала координат.

4. В нелинейном элементе должны существовать автоколебания с постоянной амплитудой и .[1]

Типовая структурная схема имеет вид:

Рисунок 1.2-типовая структурная схема нелинейной САУ

Где НЭ - нелинейный элемент, а Wлч(S) - передаточная функция линейной части нелинейной САУ.

Воспользуемся структурной схемой линейной системы, приведенной на рисунке 1.1

Структурную схему нелинейной системы составляем по правилам:

1. В типовой структурной схеме обратная связь должна быть единичной.

2. Чтобы САУ была автономной, необходимо отбросить все воздействия, поступающие к нему.

3. Нелинейный элемент должен располагаться на первом месте после главного сумматора. Вводим дополнительный сумматор в структурную схему.

4. Начинают рисовать структурную схему НСАУ с введенного сумматора.

5. прорисовывают структурную схему, перемещаясь по прямой цепи прохождения задающего воздействия.

6. В составленной структурной проверяют знаки выходных сигналов.[1]

Так как у нас в схеме нет местных обратных связей, мы их не рисуем.

Рисунок 1.3-Структурная схема нелинейной САУ

Тип нелинейной статической характеристики нелинейного элемента выбран согласно заданию для теристорного преобразователя:

Рисунок 1.4-Статическая характеристика нелинейного элемента

где b=4, m=0,1 ,

1.2 Передаточная функция линейной части нелинейной системы

Согласно структурной схеме, приведенной на рисунке 1.3, находим передаточную функцию линейной части нелинейной системы. Так как все звенья стоят в одной цепи, то передаточная функция равна произведению передаточных функций этих звеньев.

(1.1)

Преобразуем (1.1):

Подставляя численные значения, получим

(1.2)

1.3 Критерий устойчивости Гольдфарба

В основе метода гармонической линеаризации лежит метод Гольдфарба. Этот метод применяется для анализа колебательных процессов в нелинейных системах САУ. При этом исследование нелинейной системы автоматического управления сводится к исследованию линеаризованной модели.[1]

Необходимо построить годографы линейной части и нелинейного элемента. Также для оценки устойчивости периодического движения необходимо дать приращение амплитуде.

Передаточная функция НСАУ:

. (1.3)

Основное уравнение метода гармонического баланса:

1=0.

Условие периодического движения:

=-1; .

[2]

Полученная передаточная функция(1.1) из параграфа 1.2:

; (1.1)

Коэффициент гармонической линеаризации:

; (1.4)

q(a)=0;

.[3]

На комплексной плоскости строятся годограф линейной части и отрицательная характеристика нелинейного элемента. Для этих целей мы используем программный пакет MathCAD.

Рисунок 1.5-Проверка устойчивости по критерию Гольдфарба

Для оценки устойчивости необходимо дать приращение амплитуде. А=А_пер+а, возрастает по сравнению с ; А=А_пер-а, уменьшается по сравнению с .

Рисунок 1.6-Проверка устойчивости по критерию Гольдфарба. Дано приращение амплитуде.

При увеличении амплитуды годограф пересекает частотную характеристику линейной части из внутренней ее области во внешнюю, значит, периодическое движение устойчиво и соответствует автоколебаниям. Устойчивость "в большом", в системе автоколебания.[1]

1.4 Критерий устойчивости Попова В.М.

Данный частотный критерий является достаточным. Формулировка критерия Попова:

Для того чтобы положение равновесия нелинейной системы с устойчивой линейной частью и однозначной нелинейностью было устойчиво остаточно выполнения следующих условий:

1) Действительная часть функции Попова должна быть больше нуля.

2) Нелинейный элемент должен удовлетворять условию [1]

Основные условия:

1. Типовая структурная схема. Получена в пункте 1.1. Смотрите рисунок 1.3

2. Нелинейная характеристика должна укладываться в секторе (0, К₁). Смотрите рисунок 1.7.

Рисунок 1.7- Характеристика нелинейного звена укладывается в секторе (0, К)

3. Линейная часть должна быть устойчива. Поэтому преобразуем структурную схему как показано на рисунке 1.8.

Рисунок 1.8-Преобразованная структурная схема нелинейной САУ

Согласно этой схеме получаем модифицированную АФЧХ, которая равна

. (1.5)

Для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительное число , при котором корни характеристического уравнения будут левыми, то есть линейная часть должна будет устойчива.

Для абсолютной устойчивости положения равновесия нсау необходимо провести прямую Попова, чтобы модифицированный годограф оказался справа. Примем , тогда, используя пакет MathCad, получим:

Рисунок 1.9-Проверка устойчивости по критерию Попова

Система абсолютно устойчива, так как прямая Попова оказалась справа от годографа.

2. Исследование импульсной системы

В данной главе мы проводим анализ импульсной САУ; формируем схему импульсной САУ, получаем передаточную функцию непрерывной части импульсной САУ; определяем период квантования по теореме Котельникова и проверяем устойчивость системы по корням характеристического уравнения, также по критериям Найквиста и Михайлова; анализируем переходный процесс.

2.1 Схема импульсной системы

Для составления схемы импульсной системы необходимо воспользоваться структурной схемой по задающему воздействию и привести её к виду, как на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1-Функциональная схема импульсной САУ

На рисунке 2.1: ИЭ - импульсный элемент, НЧ - непрерывная часть, ОС - обратная связь.

В структурной схеме по задающему воздействию после главного сумматора поставить идеальный импульсный элемент с формирователем импульсов. Формируем структурную схему-рисунок 2.2.

Рисунок 2.2 -Структурная схема импульсной САУ

На рисунке2.2: ПИЭ- простейший импульсный элемент, ПНЧ- приведенная непрерывная часть, состоящая из формирователя импульсов и непрерывной части.

Импульсный элемент преобразует непрерывный сигнал в дискретный нужной формы. Импульсный элемент состоит из простейшего импульсного элемента и формирователя импульсов. Простейший импульсный элемент преобразует непрерывный сигнал в серию д-функций, амплитуда которых равна амплитуде входного сигнала. Формирователь импульсов преобразует серию д-функций в дискретный сигнал нужной формы. Формирующий элемент для анализа объединяется с непрерывной частью системы и называется "приведенная непрерывная часть". Выходной сигнал в ИСАУ является аналоговым, но чтобы можно было применять дискретное преобразование Лапласа выходе САУ ставим фиктивный квантователь, который синхронно и синфазно преобразует аналоговый выходной сигнал в дискретный.

2.2 Передаточная функция непрерывной части системы

По схеме импульсной системы- рисунок 2.2, находим передаточную функцию непрерывной части системы , принимая значение постоянных времени по условию.

 (2.1)

Передаточная функция приведенной непрерывной части:

(2.2)

Подставим (1.6) в (1.7):

(2.3)

2.3 Определение периода квантования по теореме Котельникова

Так как д-функция принимает значения в моменты времени 0, Т₀, n Т_0, поэтому информация о непрерывном сигнале может меняться в зависимости от выбранного Т₀ -периода квантования; доказано, что достоверность восстановления непрерывного сигнала возможна при частоте квантования щ₀>? щ_0. Допустим АЧХ непрерывной части имеет вид

Передаточная функция приведенной непрерывной части(2.1) найдена в пункте 2.2:

; (2.1)

Из нее получаем частотную характеристику:

. (2.4)

Частотные характеристики будут следовать друг за другом с частотой повторения щ_0. "Уши" первой, второй и т.д. гармоник должны накладываться друг на друга. щ₀?2 щ_нч С помощью пакета MathCad строим частотную характеристику- смотрите рисунок 2.3.. Проводим асимптоту равную

Рисунок 2.3-Частотная характеристика импульсной САУ

Из графика находим

; ;.

2.4 Передаточные функции импульсной системы в разомкнутом и замкнутом состоянии

а) Передаточная функция разомкнутой импульсной системы

Правила получения передаточной функции импульсной системы в разомкнутом состоянии:

1. Определить передаточную функцию непрерывной части САУ

2. Определить импульсную характеристику

3. Применить дискретные преобразования Лапласа к импульсной переходной характеристике.

Сначала мы формируем структурную схему разомкнутой импульсной САУ- рисунок 2.4 на основании структурной схемы импульсной САУ- рисунок 2.2

Рисунок 2.4-Структураная схема разомкнутой импульсной САУ

По условию . Принимаем

(2.5)

(2.6)

(2.7)

[1] (2.8)

Уже найденную передаточную функцию(2.1)

подставляем в (2.8):

(2.9)

где К_ос= К_ду К_у4=30·12=360.

Константу выносим за скобки, далее следует преобразование Лапласа.

где период квантования Т₀=0,1с.

б) Передаточная функция замкнутой импульсной системы.

Рисунок 2.5- Общий вид структурной схемы замкнутой импульсной САУ

Формируем структурную схему замкнутой импульсной САУ- рисунок 2.6 на основании структурной схемы импульсной САУ- рисунок 2.2

Рисунок 2.6- Структурная схема замкнутой импульсной системы

Передаточная функция замкнутой системы:

; (2.11)

найдено в предыдущем пункте :

; (2.8)

используем преобразования Лапласа.

(2.12)

Подставляем численные значения:

(2.13)

2.5 Определение устойчивости системы по корням характеристического уравнения

Проанализируем корни характеристического уравнения функции замкнутой системы автоматического управления

, (2.14)

где A(Z) - характеристическое уравнение импульсной системы автоматического управления.

Итак, характеристическое уравнение из (2.13): А_зс(z)=

Чтобы ИСАУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения системы по модулю были меньше 1. [1]

Корни: z₁=0.031, z₂=0.229. Корни меньше 1 по модулю. Это удовлетворяет критерию устойчивости. Система устойчива.

2.6 Определение устойчивости системы по критерию Михайлова

Нам потребуется передаточная функция замкнутой системы(2.14).

W_зс(z)=; А_зс(z)=

Для того, чтобы замкнутая импульсная сау была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова при =0 начиналась на положительной вещественной оси и при изменении поочередно, не обращаясь нигде в 0 в положительном направлении кривая должна пройти 2m квадрантов, где -дискретная частота

Анализ проводим с помощью пакета MathCad.

c

Варьируем частоту, получая дискретные значения.

Рисунок 2.7-кривая Михайлова

Согласно критерию годограф проходит 2m=4 квадранта в положительном направлении, нигде не обращаясь в ноль. Условие выполняется, система устойчива.

2.7 Определение устойчивости системы по критерию Найквиста

Для проверки данного критерия нам необходима передаточная функция разомкнутой системы, найденная в параграфе 2.4.

W_pc(z)= ; (2.10)

характеристическое уравнение

A_pc(z)= (2.15)

Корни разомкнутой системы находим с помощью среды MathCad:

Разомкнутая система нейтральная, так как один корень равен 1. Случай 2. Для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф АФЧХ разомкнутой САУ охватывал точку [-1, j0] в положительном направлении раз при , где -количество корней по модулю ?1. Анализ проводим в среде MathCad.

Система устойчива, так как годограф охватывает точку [-1, j0] раза.