Теория автоматического управления
3 Расчёт дискретной системы автоматического управления
Задание:
1) Определить передаточную функцию ФНСК(z) и модифицированную функции ФНСК(z,m) замкнутой нескорректированной системы.
2) Оценить устойчивость нескорректированной системы прямым методом и используя критерии устойчивости.
3) Определить начальное и установившееся (для устойчивых систем) значения решетчатой функции .
4) Найти выражения для решётчатой функции и модифицированной решётчатой функций . Построить графики этих функций.
5) Построить логарифмические амплитудно- и фазочастотные характеристики разомкнутой нескорректированной системы в функции абсолютной псевдочастоты л.
6) Определить передаточную функцию непрерывного корректирующего звена Wкз(p). Привести его схему, рассчитать параметры.
7) Определить передаточную функцию дискретного корректирующего звена Dкз(z).
8) Для случая реализации Dкз(z) с помощью цифрового вычислительного устройства разработать структуру программы, привести рекуррентные выражения для расчета текущих значений выходного сигнала устройства.
9) Для случая реализации Dкз(z) с помощью импульсного фильтра определить передаточную функцию корректирующего четырехполюсника.
10) Осуществить моделирование нескорректированной и скорректированной САУ.
1) Определим передаточную функцию ФНСК(z) и модифицированную функции ФНСК(z,m) замкнутой нескорректированной системы.
Рисунок 36 - Структурная схема нескорректированной дискретной САУ.
Исходные данные: ; ; с; с; с;
Передаточная функция непрерывной части:
;
Передаточная функция формирующего элемента (фиксатора):
; ;
Передаточная функция разомкнутой нескорректированной системы:
;
Выполним Z преобразование для выражения
;
;
Тогда: ;
Передаточная функция замкнутой нескорректированной системы:
; ;
Рассмотрим получение модифицированной передаточной функции замкнутой системы. Модифицированная передаточная функция непрерывной части:
;
где: ;
;
.
Модифицированная передаточная функция разомкнутой системы:
; ;
Модифицированная передаточная функция замкнутой системы:
; ;
2) Оценить устойчивость нескорректированной системы прямым методом и используя критерии устойчивости.
Оценим устойчивость прямым методом:
Найдем корни характеристического уравнения: ;
, следовательно, найденные полюса лежат внутри единичной окружности на комплексной плоскости и система устойчива.
Оценим устойчивость c помощью критерия Шур-Кона:
Запишем коэффициенты характеристического уравнения
; ; ;
Составим два определителя:
; ;
, ;
Согласно критерию Шур-Кона, для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все определители Дi c нечётными i были отрицательны, а с чётными i - положительны. Для рассматриваемой системы это условие выполняется, система устойчива.
Применим критерий устойчивости, основанный на билинейном преобразовании:
Произведем подстановку в передаточную функцию замкнутой нескорректированной системы:
;
Запишем коэффициенты характеристического уравнения:
; ; ;
При использовании указанного преобразования условия устойчивости непрерывных и дискретных систем совпадают, вследствие чего совпадают и методы оценки устойчивости. Согласно критерию Гурвица необходимым и достаточным условием устойчивости САУ второго порядка является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Это условие для рассматриваемой системы выполняются, система устойчива.
3) Определим начальное и установившееся значения решетчатой функции .
Найдем изображение переходной функции:
;
Начальное значение решетчатой переходной функции:
.
Установившееся значение решетчатой переходной функции:
, установившаяся ошибка равна 0,3333
4) Найдем выражения для решётчатой функции и модифицированной решётчатой функций и построим графики этих функций.
Изображение переходной функции:
;
Найдем корни уравнения :
; ; ;
Определим выражение для решетчатой функции, используя формулу:
;
где , ,
корни характеристического уравнения.
Рисунок 37 - График решетчатой функции.
Найдем изображение модифицированной решётчатой функции:
;
Определим выражение для решетчатой функции, используя формулу
,
где , , корни характеристического уравнения:
; ; ;
Получим:
;
Рисунок 38 - График модифицированной решетчатой функции.
5) Построим логарифмические амплитудно- и фазочастотные характеристики разомкнутой нескорректированной системы в функции абсолютной псевдочастоты л.
Передаточная функция разомкнутой нескорректированной системы:
;
В передаточной функции разомкнутой нескорректированной системы Wнск(z) произведём подстановку ; и получим:
;
Произведём подстановку :
;
Постоянные времени нескорректированной системы:
; ; ; .
Частоты сопряжения нескорректированной системы:
; ; ; .
; .
Рисунок 39 - ЛАХ и ФЧХ разомкнутой нескорректированной системы.
6) Определим передаточную функцию непрерывного корректирующего звена, приведём его схему, рассчитаем параметры.
Скорректированная система должна удовлетворять требованиям:
а) время регулирования процесса (tp ? 2 с);
б) перерегулирование у ? 20%;
в) величина установившейся статической ошибки ? 5%.
Рисунок 40 - Структурная схема дискретной САУ с последовательным аналоговым корректирующим звеном
Частота скорректированной САУ среза:
Передаточную функцию разомкнутой скорректированной системы:
; где ; ;
; .
Рисунок 41 - ЛАХ и ФЧХ разомкнутой скорректированной системы.
Произведём подстановку :
;
Произведём подстановку и получим:.
Передаточную функцию корректирующего звена получим из выражения
.
Передаточная функция замкнутой скорректированной САУ:
, .
Выполнив обратное Z-преобразование для F(z) и преобразование Лапласа, получим: .
Таким образом, по формуле получим:
;
Для обеспечения физической реализуемости необходимо ввести в передаточную функцию дополнительный достаточно удаленный полюс, существенно не снижающий эффективности коррекции.
;
Теперь аппаратно реализуем данное корректирующее звено:
Рисунок 42 - Аппаратная реализация корректирующего звена.
;
где ; ; ; ;
Пусть: (Ом);
тогда: (Ом); (мкФ); (мкФ);
7) Определим передаточную функцию дискретного корректирующего звена Dкз(z).
Рисунок 43 - Структурная схема дискретной САУ с последовательным дискретным регулятором.
Передаточную функцию разомкнутой скорректированной системы:
; ; .
Рисунок 44 - ЛАХ и ФЧХ разомкнутой скорректированной системы.
Осуществим замену
: ;
Произведём подстановку и получим:.
Передаточная функция регулятора:
;
8) Для случая реализации Dкз(z) с помощью цифрового вычислительного устройства разработаем структуру программы, приведем рекуррентные выражения для расчета текущих значений выходного сигнала устройства.
Воспользуемся методом прямого программирования.
;
Произведем преобразования: , следовательно,
;
Введем переменную такую, что ;
или .
Получим .
Рисунок 45 - Структурная схема прямого программирования
передаточной функции .
Соответствующие данному алгоритму рекуррентные зависимости для вычисления текущего значения и имеют вид:
;
9) Для случая реализации Dкз(z) с помощью импульсного фильтра определим передаточную функцию корректирующего четырехполюсника.
Реализуем импульсный фильтр в цепи обратной связи.
Передаточная функция цифрового регулятора:
.
Передаточная функция импульсного фильтра определяется выражением:
Обозначим ;
Выполним обратное Z преобразование:
Выполним преобразование Лапласа:
Передаточная функция импульсного фильтра в цепи обратной связи:
; ;
10) Осуществить моделирование нескорректированной и скорректированной САУ.
Смоделируем замкнутую нескорректированную дискретная систему:
Рисунок 46 - Нескорректированная дискретная САУ.
Рисунок 47 - Переходная функция нескорректированной САУ.
Рисунок 48 - Аналоговая коррекция дискретной САУ.
Рисунок 49 - Переходная функция скорректированной САУ.
Рисунок 50 - Коррекция цифровым регулятором на базе ЦВУ.
Рисунок 51 - Переходная функция скорректированной САУ
Рисунок 52 - Коррекция с помощью импульсного фильтра в цепи обратной связи.
Рисунок 53 - Переходная функция скорректированной САУ.