Фильтры нижних частот

реферат

2. Полиномиальные ФНЧ с равноволновыми характеристиками затухания ( ф-ры Чебышева)

Пусть задана неравномерность затухания Да, которая может быть на любой частоте полосы пропускания. Потребуем, чтобы при заданном n (числе элементов) затухания фильтра в полосе задержания, а0 было бы максимально возможным.

Решение задачи аппроксимации, соответствующей сформулированным требованиям, основано на экстремальных свойствах равномерного (чебышевского) приближения. Аналитическая запись такого решения имеет вид:

а = 10lg(1+A0Pn2()),

где Рп()=cos(n?arccos()) - полином Чебышева степени n.

Поскольку cos a=chj, то существует и другая форма записи полиномов Чебышева:

Рп()=ch(n?arch()).

В литературе приводятся доказательства, что Рп() действительно является полиномом степени n. Эти полиномы приводятся в справочной литературе, например в [Л.2], стр. 290.

n=2; P2()=cos(2?arccos)=22-1;

n=5; Ps()=cos(5?arcos)=165-203+5.

В полосе пропускания, то есть на интервале от 0 до квадрат полинома Чебышева будет меняться в пределах [0;1], принимая поочерёдно крайние значения (n+1) раз. При этом функция а на рассматриваемом интервале частот будет принимать такое же число раз значения[0;Да].

Рисунок 6.

На рисунке 6 приведены графики затухания чебышевских полиномиальных ФНЧ для значений n=2 и n=5 при одинаковых Да.

Исследование функции а() позволяет сделать ряд важных и интересных для практики выводов:

При одном и том же значении Да увеличение порядка передаточной функции приводит к увеличению крутизны характеристики затухания за пределами полосы пропускания.

При неизменном значении n затухание вне полосы пропускания тем больше, чем больше Да.

Наименьшие (равные 0) и наибольшие (равные Да) значения затухания чередуются в полосе пропускания. Именно поэтому аппроксимацию по Чебышеву часто называют «равноволновой».

Затухание фильтра в полосе задержания с увеличением частоты возрастает монотонно.

По заданным требованиям к характеристике затухания в полосе задерживания порядок ФНЧ Чебышева рассчитывается так же, как и порядок ФНЧ Баттерворта, исходя из условия а()а0.

Решив данное неравенство относительно n получим:

(4).

Конструирование функции Т(р) по известной |T(j)|2 производится обычным путём. Схемы лестничной реализации будут иметь тот же вид, что и у любого другого полиномиального ФНЧ при одинаковом n.

Различие будет лишь в значениях величин параметров элементов. Табулированные решения по расчёту чебышевских ФНЧ приводятся в справочной литературе.

Преимущество фильтра Чебышева состоит в том, что при одинаковом количестве элементов и при одинаковом, Да в полосе пропускания, этот фильтр имеет большее затухание в полосе задерживания по сравнению с фильтром Баттерворта.

3. ФНЧ со всплесками затухания (ф-ры Золотарева)

Отличительной особенностью характеристик затухания полиномиального ФНЧ является их монотонное возрастание по мере удаления от полосы пропускания. Однако, если необходимо синтезировать ФНЧ со значительным уровнем гарантированного затухания а0 и при узкой полосе перехода, то применение полиномиальных конструкций приводит к неоправданно большому количеству элементов в таких случаях имеет смысл обратиться к другим передаточным функциям, в частности имеющими нули полинома, а в полосе задержания всплеск затухания, то есть к функциям вида:

(5)

где - полином Гурвица степени n; 1, 2, ....., - частоты в полосе задержания, где АЧХ фильтра обращается в нуль(затухание принимает бесконечно большое значение, то есть имеет место его «всплеска»).

Частотная зависимость затухания имеет вид:

(6)

Среди ФНЧ, передаточная функция которых имеет вид дроби (5), наибольшее распространение получили ФНЧ с изоэкстремальными характеристиками затухания или ФНЧ Золотарёва.

Требования к характеристике затухания ФНЧ такого типа формулируется следующим образом: затухание фильтра в полосе пропускания не должно превышать заданной величины Да, а в полосе задержания быть не менее заданной величины а0.

В подобных случаях, при аппроксимации характеристик затухания фильтра используется одна из задач наилучшего приближения функций, сформулированная и решённая Е.И. Золотарёвым (1847-1878), профессором Петербургского университета, учеником П.Л. Чебышева, а именно задача о рациональной функции порядка n, значения которой по абсолютной величине в интервале -1 1 не превышали бы единицы, а в интервале || > 1 наименьшее по абсолютной величине её значение было бы максимально возможным.

Соответствующая рациональная функция может быть названа дробью Золотарёва.

Если в выражение а = 10lg(1+A0Pn2()) под Pn() понимать дробь Золотарёва, то в соответствии со свойствами последней наименьшее значение затухания такого фильтра в полосе задержания будет максимально возможным по сравнению со всеми другими фильтрами с теми же значениями.

График затухания ФНЧ с характеристиками Золотарёва, а также возможные схемы реализации приведены для случая n = 5 на рисунке 7.

Рисунок 7.

Видно, что всплески затухания расположены так, что значения минимумов в полосе задержания оказываются одинаковыми и равными.

Фильтры с характеристиками Золотарёва (или просто ФНЧ Золотарёва) называют иногда эллиптическими, поскольку значения нулей и полюсов дроби Золотарёва выражаются через эллиптические функции.

Решения, связанные с расчётом ФНЧ Золотарёва, в настоящее время табулированы и доведены до схем и значений параметров элементов (см. Л.2, стр. 292-295).

Эффективность ФНЧ Золотарёва может быть подтверждена примером, где к ФНЧ предъявляются довольно жёсткие требования.

Да=0,01 Hп, a0=5.0 Hп, к=1,08.

(7)

Расчёт порядка n различных фильтров, удовлетворяющий указанным требованиям, даст следующие результаты:

Число элементов равняется соответственно 7, 18, 80.

В данном примере ФНЧ Золотарёва явно оказывается вне конкуренции.

Делись добром ;)