Цифрова обробка моделі суміші сигналів на фоні завад в середовищі MATLAB

курсовая работа

2.1 Нерекурсивні цифрові фільтри

Відмінною рисою НЦФ є залежність вихідного сигналу y(n) тільки від вхідних сигналів у даний момент часу x(n) і попередні моменти x(n-k). Алгоритм (рівняння) НЦФ порядку N записують у вигляді

.

Для розрахунків зручніше використати фільтр порядку 2N з алгоритмом фільтрації виду:

(2.1)

При N=2 відповідно до (1.1) можна записати

,

де x(n) - вхідний сигнал (відлік сигналу) у момент часу nTд ,

y(n) - відповідний вихідний сигнал,

Tд - період дискретизації.

При такому записі алгоритму фільтрації вихідний сигнал у момент часу n можна обчислити тільки тоді, коли стануть відомими “майбутні” вхідні відліки. Це означає необхідність затримки вихідного сигналу фільтра щодо вхідного.

Якщо на НЦФ подать одиничний імпульс

,

те відповідно до (1.1) на виході повинна зявитися послідовність із (2N+1) відліків, що відповідають ваговим коефіцієнтам фільтра ak . Очевидно, що ця послідовність кінцева, тому НЦФ має кінцевий імпульсний відгук і називається фільтром з кінцевою імпульсною характеристикою (КІХ-фільтром або FIR (finite impulse response) фільтром ).

Якщо на НЦФ подать дискретне гармонійне коливання:

,

тоді з (1.1) випливає

,

звідки передатна функція НЦФ

.

Неважко перевірити, що - періодична з періодом функція частоти, тобто

Таким чином, може бути представлена рядом Фурє в частотній області, причому коефіцієнти цього ряду визначаються співвідношенням:

.

При розрахунках зручно оперувати парними або непарними відносно коефіцієнтами . У цьому випадку спрощується вид передатної функції . Для парних передатна функція дійсна та складається із суми зважених косинусоїд:

,

а для непарних - - уявна та складається із суми синусоїд:

.

Для визначення параметрів цифрового нерекурсивного ФНЧ за основу береться ідеальний ФНЧ. Ідея методу розрахунку зводиться до апроксимації ідеального ФНЧ, передатна функція якого має вигляд:

(2.2)

де c - частота зрізу (іноді її позначають і називають «верхня гранична частота»).

Ця передатна функція H(j) може бути періодизована з періодом , після чого також може бути представлена рядом Фурє, що буде тим краще апроксимувати H(j), чим більше доданків буде містити. Якщо ж таке розкладання «усікти», тобто залишити в ньому стільки складових, скільки коефіцієнтів фільтра ми хочемо обчислити, тоді результат такого усікання природно трактувати як Hд(j). Зявляється різниця між H(j) і її апроксимацією Hд(j). Одним з кількісних критеріїв такої різниці є метод найменших квадратів Гауса: середній квадрат різниці повинен бути мінімальним:

.

Можна показати, що відповідно до цього критерію помилка апроксимації буде мінімальною, якщо вагові коефіцієнти шуканого фільтра обчислювати як коефіцієнти Фурє розкладання в ряд періодизованої функції H(j). З огляду на (1.2), можна записати для парних функцій :

(2.3)

Таким чином, коефіцієнт ak (k = 0, ... ,N) залежить від відношення частоти зрізу до частоти дискретизації. Тому при розрахунках зручно використати відносну частоту зрізу

.

У цьому випадку

, (2.4)

де .

Розрахунок ФВЧ, СФ і РФ виконується на підставі теореми додавання перетворень Фурє.

Як відзначалося вище, найважливіший параметр, що визначає коефіцієнти нерекурсивного ФНЧ - це відношення . Інший не менш важливий параметр - порядок фільтра 2N. Виявляється, фіксуючи порядок фільтра , ми «автоматично» ставимо задачу про оптимальний у деякому сенсі виборі співвідношення між частотою дискретизації й частотою зрізу . Виходячи із цього, на практиці рекомендують вибирати «оптимальні» значення або .

Джерела таких рекомендацій стають зрозумілими, якщо врахувати звязок між й ІПХ неперервного (аналогового) фільтра:

, (2.5)

. (2.6)

Порівнюючи (2.6) і (2.4), дійдемо висновку, що , тобто з точністю до множника коефіцієнти цифрового фільтра збігаються зі значеннями ІПХ аналового фільтра, узятими в дискретні моменти часу .

Делись добром ;)