Цифрова обробка моделі суміші сигналів на фоні завад в середовищі MATLAB

курсовая работа

2.2 Рекурсивні цифрові фільтри

Вихідний сигнал рекурсивного фільтра в кожен момент часу залежить не тільки від вхідних сигналів, але й від вихідних у попередні моменти часу. У загальному випадку рівняння РЦФ записують у вигляді:

(2.7)

Більше із двох чисел M й N визначає порядок фільтра.

На найпростіших прикладах можна показати, що ІПХ рекурсивного фільтра нескінченна, тому такий фільтр іменують IIR (infinite impulse response) фільтром. Дійсно, нехай рівняння РЦФ має вигляд:

.

Подамо на такий фільтр одиничний імпульс:

Оскільки в моменти часу, що передують , фільтр не був збуджений, тобто , одержуємо:

і т.д., тобто ІПХ триває нескінченно довго.

Для одержання передатної функції рекурсивного фільтра прийнято

використовува Z-перетворення:

.

Множачи на й піддаючи обидві частини рівняння (2.1) Z-перетворенню, одержимо

.

Оскільки в рівнянні (2.1) прийнято

ak = 0 при k<0 й k>N,

bk = 0 при k<0 й k>M,

можна розширити границі підсумовування до :

або

Позначивши m = (n - k), одержимо

або в компактному виді

B(z) Y(z) = A(z) X(z),

де A(z), B(z), X(z), Y(z) - Z-перетворення відповідних числових послідовностей.

Звідси треба, що Z-перетворення передатної функції фільтра (тобто відношення вихідної реакції до вхідного впливу) має вигляд:

(2.8)

Після підстановки в (2.2) одержимо передатну функцію в явному виді, тобто у вигляді залежності коефіцієнта передачі від частоти:

.

Коефіцієнт передачі - періодична функція частоти з періодом .

В окремому випадку нерекурсивного фільтра

.

Розрахунок (проектування) рекурсивних фільтрів істотно складніше розрахунку нерекурсивних фільтрів. Існує велика кількість різних методик, однак багато з них розраховані на висококваліфікованих професіоналів в області фільтрації сигналів, знайомих як з методиками проектування аналогових фільтрів, так і з областю математичного аналізу, присвяченої перетворенням Лапласа, Z-перетворенням, теорії відрахувань. Найбільш простою і популярною є методика, що називається «частотне перетворення».

Сутність цієї методики полягає в трансформації передатної характеристики якогось ФНЧ, іменованого «ФНЧ-прототип», у передатну характеристику потрібного фільтра (НЧ, ВЧ, смугового, режекторного), з наступною заміною .

Представимо таку методику у вигляді алгоритму:

1) виходячи з вимог до якості проектованого фільтра (гладкість у смузі пропускання, фазова характеристика, припустимий рівень пульсацій у смугах пропускання й запирання), вибирають тип фільтра й порядок фільтра N. ФНЧ Баттерворта забезпечує максимально плоску характеристику в зоні пропуcкання, однак погано передає фронти прямокутних імпульсів. Крутість перехідної зони (зі смуги пропускання в смугу запирання) росте зі збільшенням N.

2) після вибору типу фільтра звертаються до однієї з таблиць фільтрів-прототипів, з яких вибирають числові значення коефіцієнтів і . До таких таблиць «привязаний» також числовий параметр - відношення частоти дискретизації до частоти зрізу фільтра-прототипу. В літературі пропонуються таблиці для , що мають вид:

Таблиця 2.1. Коефіцієнти для прототипів ФНЧ Баттерворта N-го порядку

N

i

1

1

0,5

0,5

0

0

0

2

2

0,2929

0,5858

0,2929

0

0,1716

3

1

0,5

0,5

0

0

0

2

0,3333

0,6667

0,3333

0

0,3333

Розглядаючи таблиці, неважко помітити що, коефіцієнти залежать також від якогось індексу - номера каскаду. Справа в тому, що рекурсивні фільтри порядку N>2 прийнято одержувати шляхом послідовного зєднання фільтрів 2-го порядку. Тому якщо передатна функція фільтра-прототипу 2-го порядку має вигляд:

,

те передатна функція фільтра-прототипу більш вищого порядку виходить як добуток передатних характеристик P фільтрів:

.

3) виходячи з необхідного співвідношення (при розрахунку НЧ або ВЧ фільтра) або необхідної пари співвідношень та , (при розрахунку смугового або режекторного фільтра), заміняють змінну на функцію змінної , для чого використовують співвідношення з таблиці 2.2.

Таблиця 2.2

ФНЧ ФНЧ

,

ФНЧ ФВЧ

,

ФНЧ смуговий фільтр

,

ФНЧ режекторный фільтр

,

4) отриманий аналітичний вираз передатної характеристики спрощують так, щоб у чисельнику й знаменнику виявилися поліноми змінної .

5) чисельник і знаменник функції ділять на таке число, щоб виконувалася умова . Результуючі коефіцієнти в чисельнику й знаменнику (після такого нормування) і утворять шукані множини коефіцієнтів і .

6) в аналітичному виразі для роблять заміну , одержуючи в такий спосіб частотну характеристику синтезованого фільтра. АЧХ фільтра одержують як корінь квадратний із суми квадратів дійсної та уявної частин комплексної функції .У випадку, коли отримана АЧХ не влаштовує користувача, роблять перерахунок коефіцієнтів для іншого типу фільтра або збільшують порядок фільтра.

Делись добром ;)