Исследование и расчет двухполюсников и четырехполюсников
1.1 Выявление необходимых и достаточных условий для физической реализации схемы
Для того чтобы рациональная дробь была операторным выражением входных функций или и, следовательно, могла быть реализована в виде электрической цепи, она должна быть положительной вещественной функцией (ПВФ).
Для того чтобы функция была ПВФ она должна удовлетворять следующим требованиям:
все коэффициенты в числителе и знаменателе должны быть неотрицательны;
наивысшая степень полинома числителя не может отличаться от наивысшей степени полинома знаменателя более чем на единицу. То же и в отношении минимальных степеней числителя и знаменателя;
нули и полюсы должны быть расположены только в левой полуплоскости комплексного переменного. При этом нули и полюсы, расположенные на мнимой оси комплексной плоскости должны быть только простые, не кратные;
вещественная часть функции при чисто мнимых значениях (т.е. на мнимой оси, где ) неотрицательна, т.е. .
Проверим положительность и вещественность заданных операторных сопротивлений двухполюсников:
Z1(p) = Z2(p)
=
Условие 1) выполняется, т.к. все коэффициенты положительны.
Условие 2) также выполняется, т.к. наибольшие и наименьшие степени отличаются не более чем на единицу.
Для проверки условия 3) выясним расположение нулей и полюсов заданных операторных сопротивлений. Сначала найдем нули заданных функций:
Теперь найдем полюсы заданных функций:
Отсюда следует, что нули и полюсы операторных сопротивлений лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости, что соответствует выполнению условия 3).
Наконец, проверим выполнение условия 4). Для этого найдем выражение операторных сопротивлений на мнимой оси (т.е. при ) и определим его вещественную часть:
(1.5)
(1.6)
Условие 4) выполняется. Следовательно, заданные операторные сопротивления двухполюсников являются ПВФ, т.е. они могут быть реализованы в виде электрической цепи.