Исследование линейной системы автоматического управления (САУ)
4. Расчет и построение частотных характеристик эквивалентной разомкнутой САУ: АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ
Разомкнутая САУ (рис.3) - система, не способная контролировать состояние объекта управления, т.е. это САУ без обратной связи. Передаточная функция разомкнутой САУ выглядит следующим образом:
Комплексно-частотная функция имеет вид:
Введём подстановку:
;;;
Преобразуем полученное выражение:
; ;
;
Получим АФЧХ:
Уравнение АЧХ:
Уравнение ФЧХ:
Логарифмические частотные характеристики определяют усилительные свойства системы (ЛАЧХ) и сдвиг фазы выходной величины (ЛФЧХ) в логарифмическом масштабе.
ЛАЧХ - модуль комплексной функции АФЧХ с учетом логарифмического масштаба, а ЛФЧХ - аргумент комплексной функции.
Уравнение ЛАЧХ:
Уравнение ЛФЧХ:
Логарифмические частотные характеристики определяют усилительные свойства системы (ЛАЧХ) и сдвиг фазы выходной величины (ЛФЧХ) в логарифмическом масштабе.
ЛАЧХ - модуль комплексной функции АФЧХ с учетом логарифмического масштаба, а ЛФЧХ - аргумент комплексной функции
Построим с помощью пакета MatLabлогарифмические амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ), фазово-частотную характеристику (ЛФЧХ) и амплитудную фазово-частотную характеристику (АФЧХ) для разомкнутой системы. Структурная схема разомкнутой САУ в среде MatLab представлена на рис.4.
Результаты построений представлены на рис.5, рис.6.
Частота сопряжения: рад/с; рад/с
Частота среза:
Запас по фазе на частоте единичного усиления:
Запас по амплитуде:
Проверим на идентичность графиков с помощью программ MatLab и Mathcab,тем самым проверим и правильность расчётов.
Вносим в программу Mathcab нами полученные ранее уравнения:
· АФЧХ:
· ЛАЧХ:
· ЛФЧХ:
Получим графики:
Рис.7. График АФЧХ разомкнутой САУ в программе Mathcab
Рис.8. Графики ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой САУ в программе Mathcab
Можем заметить по графикам, что запасы по фазе и по амплитуде идентичны с найденными значениями с помощью программы MatLab.
Запас по фазе на частоте единичного усиления:
Запас по амплитуде:
Графики в Mathcab и MatLab сходятся, что подтверждает правильность расчётов.
Далее проверим ЛАЧХ, полученную в MatLab с помощью ручного расчёта. Рис.9. Схема разомкнутой САУ в MatLab
Распишем все звенья, которые присутствуют в разомкнутой схеме. Это пропорциональное звено, форсирующее звено первого порядка, апериодическое звено первого порядка и апериодическое звено второго порядка. Последнее звено, немного упростим:
Т.к. то можно данное звено заменить на 2 апериодических звена первого порядка.
Запишем все звенья после некоторого преобразования.
Найдём частоты сопряжения:
Можно сразу заметить, что корни характеристического уравнения разомкнутой системы полностью совпадают с найденными частотами. Далее построим асимптотический график ЛАЧХ и сравним его с реальным.
Рис. 10. Сравнение асимптотической и реальной ЛАЧХ
Из графика хорошо видно что асимптотический и реальный график практически сливаются, что говорит о том что все расчёты верны. И анализ звеньев был проведён правильно.
Так как частоты сопряжения находятся вблизи друг друга, проводим моделирование отдельных частей системы для уточнения характера процесса:
Убираем звено, срабатывающее на частоте Рис.11. ЛАЧХ 1
Убираем звено, срабатывающее на частоте Рис.12. ЛАЧХ 2
Убираем звено, срабатывающее на частоте : Рис.13. ЛАЧХ 3
Из графиков хорошо видно, что характеры процессов схожи с графиком апроксимации, что говорит о том что все расчёты верны. И анализ звеньев был проведён правильно.