2.1 Модальное управление

Как было выявлено ранее, в рассматриваемой следящей системе необходимо обеспечить эффективное демпфирование упругих колебаний. Весьма эффективным методом их подавления является модальное управление, поскольку оно позволяет назначить желаемый характеристический полином (ХП) системы.

Задача модального управления ставится следующим образом [1], [2].

Для исходной линейной стационарной системы

, где , (2.1)

желаемое расположение полюсов на комплексной плоскости может быть обеспечено введением линейной обратной связи по состоянию. Соответствующий закон управления математически выразим следующим образом: . Здесь - вектор задающих воздействий, а - матрица обратной связи. Если и - скаляры, то матрица-строка, элементы которой представляют собой коэффициенты обратных связей по всем составляющим вектора . Исходная система и обратная связь образуют замкнутую систему, уравнение которой

, (2.2)

Задача состоит в нахождении такой матрицы коэффициентов обратных связей, чтобы система (2.2) имела желаемое расположение полюсов на комплексной плоскости, т. е. желаемый характеристический полином :

Методика синтеза модального регулятора для системы с одним входом такова [1]:

1. Составляем математическое описание исходной системы в форме (2.1) и определяем матрицы A, B.

2. Проверяем управляемость пары (A,B).

3. Записываем выражение для матрицы , матрицы и характеристического полинома замкнутой системы .

4. Выбираем тип желаемого характеристического полинома исходя из требований к виду переходной характеристики системы.

5. Для полинома выбранного типа и степени, равной порядку системы, определяем коэффициенты из справочника.

6. Определяем среднегеометрический корень исходя из требований к быстродействию системы.

7. Вычисляем коэффициенты желаемого полинома

8. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях желаемого и фактического характеристического полинома, составляем систему из линейных алгебраических уравнений. Решая ее, находим искомые элементы матрицы .

Модальное управление организовано во всей системе (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Структурная схема системы с модальным управлением

Для дальнейших расчетов приведем параметры исходной структурной схемы механической части двухмассовой модели к валу двигателя (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Структурная схема в переменных, приведенных к валу двигателя

Соотношения между исходными значениями параметров , , и их приведенными значениями J2, b и c, а также соотношения между переменными исходной и преобразованной схем следующие: