Активные фильтры высоких частот
1.1 Математическое описание фильтров
Основной характеристикой фильтра считается его амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), отображающая зависимость коэффициента передачи фильтра К(щ) от угловой частоты сигнала. По виду АЧХ фильтры разделяются на: фильтры нижних частот (ФНЧ) (пропускают низкие частоты и задерживают высокие частоты), фильтры верхних частот (ФВЧ) (пропускают высокие частоты и задерживают низкие частоты), полосовые фильтры (ПФ) (пропускают полосу частот и задерживают те частоты, которые расположены выше и ниже этой полосы) и режекторные (заграждающие) фильтры (задерживают полосу частот и пропускают частоты, расположенные выше и ниже этой полосы). На рисунке 1 представлены АЧХ фильтров низких и высоких частот.
Рисунок 1 - Амплитудно-частотные характеристики: а) ФНЧ; б) ФВЧ
Для описания ФНЧ и ФВЧ вводится понятие частоты среза щ0 - частоты сигнала, на которой наблюдается уменьшение мощности в 2 раза. Коэффициент передачи фильтра при этом уменьшается в раз по сравнению с коэффициентом передачи К0 на нулевой (для ФНЧ) или на бесконечной (для ФВЧ) частоте.
Рассматриваемые активные RC-фильтры относят к классу линейных электрических цепей с сосредоточенными и постоянными во времени параметрами, передаточная функция которых имеет вид:
, (1)
фильтр высокий частота сигнал
где
Uвх(p), Uвх(p) - изображения по Лапласу входного и выходного напряжений;
p=у+jщ - комплексная переменная;
ai, bi - вещественные коэффициенты, зависящие от параметров цепи; К - масштабный множитель (коэффициент усиления).
Степень полинома знаменателя n определяет порядок фильтра. Реальные амплитудно-частотные характеристики лучше (более близки к идеальным) для фильтров более высокого порядка. Однако повышение порядка связано с усложнением схем и более высокой стоимостью. Таким образом, один из аспектов разработки фильтров связан с получением реализуемой характеристики, аппроксимирующей с некоторой заданной степенью точности идеальную характеристику при наименьших затратах.
Если в формуле (1) все коэффициенты а равны нулю, за исключением а0, то передаточная функция представляет собой отношение постоянного числа к полиному. В этом случае фильтр является всеполюсным или полиномиальным, поскольку его передаточная функция обладает тем свойством, что все ее полюсы конечны, а конечных нулей не содержит. Нуль определяется значением переменной p, для которой передаточная функция равна нулю, а полюс - это значение переменной p, для которой передаточная функция имеет бесконечное значение.
Для ФНЧ первого порядка передаточная функция представляется в виде:
, (2)
где С - постоянное число, а N(p) - полином первой или нулевой степени.
Для ФНЧ второго порядка передаточная функция представляется в виде:
, (3)
где В и С - постоянные числа, а N(p) - полином второй или меньшей степени.
Для четного порядка n>2 обычная каскадная схема содержит n/2 звеньев второго порядка, каждое с передаточной функцией типа (3). Если же порядок n>2 является нечетным, то схема содержит (n-l)/2 звеньев второго порядка с передаточными функциями типа (3) и одно звено первого порядка с передаточной функцией типа (2).
Передаточную функцию фильтра верхних частот с частотой среза щс можно получить из передаточной функции нормированного фильтра нижних частот (имеющего щс, равную 1 рад/с) с помощью замены переменной p на щс/p. Следовательно, функция фильтров верхних частот Баттерворта и Чебышева будет содержать следующие сомножители второго порядка:
, (4)
где щс - частота среза, а В и С представляют собой приведенные в приложении А нормированные коэффициенты звена фильтра нижних частот второго порядка. При нечетном порядке присутствует также звено первого порядка, обладающее передаточной функцией вида:
. (5)
Коэффициент усиления фильтра верхних частот представляет собой значение его передаточной функции при бесконечном значении переменной s. Следовательно, для звеньев второго и первого порядков ФВЧ, описываемых соответственно уравнениями (4) и (5), коэффициент усиления звена равен К.
B процессе проектирования параметры передаточной функции фильтра могут выбираться и оптимизироваться по различным критериям. Критериями чаще всего выступают равномерность АЧХ и колебательность переходной характеристики фильтра h(t). Наиболее известны методики расчета, основанные на использовании алгебраических полиномов с известными свойствами, предложенных в своё время математиками Бесселем, Баттервортом и Чебышевым. Фильтры с использованием этих полиномов получили соответствующие имена.
На рисунке 2 для сравнения показаны АЧХ фильтров нижних частот различных типов.
Рисунок 2 - Сравнительные АЧХ фильтров низкой частоты