Спектры сигналов

В обычном трехмерном пространстве важную роль при анализе трехмерных объектов играет система координат. Аналогичную струк­туру можно ввести в линейное пространство сигналов. Если в про­странстве L можно найти N линейно независимых элементов, а лю­быеN+1 элементов этого пространства линейно зависимы, то говорят, что пространство L является конечномерным и имеет раз­мерность N. Множество , ,...,,,.... , в этом случае называет­сябазисом для L. В теории сигналов базис служит для анализа струк­туры сложных сигналов и для сравнения сигналов друг с другом.

При заданном базисе любой сигнал из L можно однозначно пред­ставить в виде ряда

где S_n— вещественные или комплексные коэффициенты.

Если в пространстве L каждый раз можно найти систему из произ­вольно большого числа, ,...,,,.... линейно независимых эле­ментов, то пространство L называется бесконечномерным. В беско­нечномерном пространстве базисом называется такая последовательность элементов , ,...,,,.... когда любой элемент из L можно однозначно представить в виде

Бесконечномерное пространство возникает при анализе аналого­вых сигналов. Для анализа дискретных сигналов, заданных с помо­щью конечного числа N отсчетов, N-мерное простран­ство.

Пусть задана базисная система функций , ,...,,.., попарно ор­тогональных друг к другу и обладающих единичными нормами

(

Такая базисная система называется ортонормированной.

Разложим произвольный сигнал в ряд по ортонормированному ба­зису

Представление (3.1) называется обобщенным рядом Фурьедля сигналаsв заданном пространстве. Коэффициентыряда Фурье находят просто. Умножим скалярно обе части (3.1) на базисную функцию

учитывая ортонормированность функций и свойства скалярного произведенияполучим простую формулу для расчетакоэффициентов обобщенного ряда Фурье:

Например, для аналогового сигнала s(t) коэффициенты ряда находим по формуле:

Совокупность коэффициентов называют спектральной харак­теристикой или просто спектром сигнала [1, 2]. Спектр дает полное и точное описание произвольного сигнала с помощью счетного множе­ства коэффициентов . Для множества сигналов наборы коэффици­ентов в свою очередь образуют вещественное или комплексное числовое пространство, причем скалярные произведения в функцио­нальном и числовом пространствах одинаковы. Если и , то (X,Y) = (x,y) для одинаковых сигналовX=Yполученное равенство превращается в соотношение для норм, называемоеравенством Парсеваля:

Физический смысл полученного выражения для пространства L₂ следующий: энергия сигнала равна сумме энергий всех компонент, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.

Это значит для разных форм представления сигнала :

- в виде временной функции (см п. 2.1);

в виде корреляционной функции (см п. 2.2);

в виде спектральной функции (см п. 4.5),

.

Если использовать в качестве ортогональных базисных функций 1, где n = 1, 2, ….то получим ряд Фурье. Ряд Фурье используется, если сигнал s(t)L₂(T) представлен на ограниченном временном отрезке [0, T], либо сигнал является периодиче­ским с периодом Т. Ряд Фурье записывается в разных формах: тригонометрической, комплексной, интегральной (см. Глава 4 настоящей работы). Также в качестве базисных функций используют: функции Лежандра; Чебышева, Эрмита и Лагерра; на основе которых осуществляется разложение непрерывной функцииf(x) в обобщенные ряды Фурье [1, 2].При проведении теоретических исследований и при решении задач удобно использовать преобразование Лапласа (см. п. 7 настоящей работы). Это преобразование вводится для всех сигналов s(t), тождественно равных нулю при t < 0 и возрастающих не быстрее где— вещественное число, причем> 0.

Преобразование Лапласа можно получить как обобщение преобра­зования Фурье, обозначая

Для анализа cигналов заданных на всей временной оси, в настоящее время часто используются негармонические базисные функции вейвлеты (wavelet) [2]. Название "вейвлет", переводит­ся на русский язык как "маленькая волна". Вейвлет представляется функцией осциллирующей в некотором временном интервале подобно волне и быстро затухающей вне него. При этом функция должна иметь нулевое среднее значение

На рис. 3.1 показаны графики двух вейвлетов: мексиканская шляпа и Хаара .

а) б)

Рис. 3.1. Графическое изображение вейвлетов: а) – мексиканская шляпа, б) - Хаара

Общий принцип построения базиса на основе вейвлета состоит в использовании масштабирования (сжатия или растяжения) базис­ной функции во времени и сдвига (смещения) ее по временной оси. Таким образом, вейвлеты — это функции, где:а – масштаб, b – сдвиг. Коэффициент перед функциейвведен для сохранения нормы сигнала(R).

Чем больше масштаб , тем медленнее изменяется и более «крупномасштабно» выглядит вейвлет. Чем меньше , тем более высо­кочастотные и быстроизменяющиеся составляющие описывает вейв­лет. Понятие частоты из классического гармонического спектрального анализа в вейвлет-анализе заменено масштабом .

Используя сдвиг вейвлета по оси времени, проводим анализ свойств сигнала в разных точках временной оси. Такой сдвиг не пре­дусмотрен в гармоническом анализе. Поэтому вейвлеты удобно ис­пользовать при анализе нестационарных сигналов, когда кроме ин­формации о выявленных частотах нужно получить данные о моментах времени, при которых эти частоты возникают или исчеза­ют.

Подобно тому как аналоговые воздействия были представле­ны преобразованиями Фурье и Лапласа, дискретные воздействия представляются Z-преобразованием [1, 2]. Дискретные цепи описыва­ются во временной области разностными уравнениями, а на ком­плексной плоскости — передаточной функцией комплексного пе­ременного Z. Расчет реакции дискретной цепи на дискретное воз­действие может быть осуществлен как временным методом, так и с помощью передаточных функций и Z-преобразования. Методы анализа дискретных цепей описаны в [1, 2, 3].