Оценка шумов квантования Оценка шумов при равномерном квантовании.

Пусть плот­ность вероятности распределения мгновенных значений входного сигнала описывается функцией и его квантование осуществ­ляется в пределах от -U₀ до +U₀. Этот диапазон разбит на М шагов квантования, каждый из которых лежит в пределах .

Вероятность появления сигнала с уровнем, лежащим в пределах i-го шага квантования, равна

(3)

Поскольку шаг квантования мал по сравнению с диапазоном из­менения входного сигнала, эта вероятность может быть принята равной

(4)

В последней формуле - плотность вероятности величины напряжения сигнала в середине рассматриваемого интервала.

Мгновенная мощность шума квантования, развиваемая на еди­ничном сопротивлении, равна квадрату ошибки квантования для данного шага квантования

а мощность шума квантования, возникающего при квантовании сигналов, лежащих в пределах i-го шага квантования, соответствует

(5)

С учетом выражений (4) и (5) имеем

(6)

Мощность полного шума квантования равна сумме составляю­щих от каждого шага

(7)

При равномерной шкале квантования и, следовательно,

. (8)

Из (8) очевидно, что при равномерной шкале квантования мощ­ность шумов квантования не зависит от уровня квантуемого сигнала и определяется только шагом квантования.

Шумы квантования действуют только одновременно с передачей сигнала: есть сигнал - есть шумы квантования, нет сигнала - нет шумов квантования. Поэтому влияние шумов квантования на каче­ство передачи удобно оценивать отношением сигнал-шум кванто­вания (ОСШК), равным

, (9)

или в логарифмических единицах (дБ) оно рассматривается как защищенность сигнала от шума квантования

(10)

здесь W_c - мощность полезного сигнала.

При известном динамическом диапазоне квантуемого сигнала шаг квантования определяет число уровней квантования М и, следовательно, число элементов (или разрядность) кода т, необ­ходимого для последующего кодирования квантованных отсчетов сигнала с целью формирования двоичного цифрового сигнала.

Сигналы, поступающие на вход квантующего устройства от различных источников, могут значительно различаться по мощности, динамическому диапазону. Например, из-за различия микрофонов, вида и длины абонентских линий, особенностей говорящих параметры телефонных сигналов значительно разнятся между собой. Поскольку параметры квантующего устройства и в последующем устройства кодирования остаются неизменными, то шаг квантования следует выбирать исходя из того, чтобы шумы квантования не превышали допустимого значения для минимальных по мощности сигналов. В то же время во избежание значительных шумов ограничения порог ограничения U₀ (рис. 1, а) должен выбираться исходя из параметров максимального по уровню сгаримвюднэсо ограничения выбран в k раз больше, чем среднеквадратическое значение напряжения максимального по уровню входного сигнала, т.е.

(11)

Если шкала квантования строится таким образом, чтобы шумы ограничения не возникали, то величина U₀ должна совпадать с пиковым значением сигнала. В этом случае коэффициент k показы­вает, во сколько раз пиковое значение сигнала больше его среднеквадратического значения, и численно совпадает с пик-фактором сигнала. В общем случае коэффициент k устанавливает связь между значениями параметров сигнала и шкалы квантования. С его использованием между U₀, и числом уровней квантования М может быть установлена следующая связь: при квантовании двуполярных сигналов:

(12)

при квантовании однополярных сигналов:

. (13)

Подставив выражения (11)-(13) в формулу (8), получим иное представление для оценки шума квантования. В случае двухполярного сигнала имеем:

(14)

В случае однополярного сигнала получим:

(15)

Мощность полезного сигнала равна его дисперсии, т.е.

, (16)

поэтому и квадрат среднеквадратического значения пред­ставляет мощность наибольшего входного сигнала, т.е.

Используя (9), (10) и (14), (16), находим ОСШК: для двуполярных сигналов:

(17)

или защищенность (в дБ):

(18)

для однополярных сигналов:

(19)

или

(20)

При m-разрядном кодировании М = 2^т . Подставив это значение в формулы (18) и (20), получим значения защищенности от шумов квантования для двуполярного сигнала:

(21)

и для однополярного сигнала:

(22)

При квантовании сигнала от одного источника, когда , защищенность от шумов квантования определится по формулам:

(23)

для двуполярных сигналов и

(24)

для однополярных сигналов.

Последние формулы показывают, что при равномерном кванто­вании защищенность А_кв увеличивается на 6 дБ с возрастанием разрядов в кодовой группе на каждую единицу и при она растет прямо пропорционально уровню сигнала [см. формулы (21) и (22)]. Так, при переходе от восьмиразрядного к девятиразрядному коду защищенность от шумов квантования А_кв увеличивается на 6 дБ, но при этом требуемая скорость передачи возрастает на 12,5 %, что не всегда является приемлемым.

Воспользуемся полученными формулами для оценки защищен­ности от шумов квантования для различных сигналов.