Теоремы Ляпунова об устойчивости линейной системы

Полученное выше условие устойчивости справедливо для обыкновенных линейных систем автоматического управления. На практике приходится иметь дело с линеаризованными системами, и фактическая нелинейность характеристик системы может привести к неверным выводам о её устойчивости на основании исследования линеаризованного дифференциального уравнения.

Границы применимости линеаризованных дифференциальных уравнений при исследовании устойчивости систем определяются общими теоремами устойчивости А.М. Ляпунова. Эти теоремы приводятся ниже без доказательств (с доказательством теорем можно ознакомиться в учебниках по теории управления или в трудах А.М. Ляпунова).

1. Реальная система устойчива «в малом», если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями.

2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет неустойчива.

3. При наличии корней характеристического уравнения с нулевой вещественной частью поведение реальной системы может не совпадать с поведением линеаризованной системы, и решение вопроса об устойчивости системы требует дополнительных исследований.

Понятие "в малом" соответствует поведению системы при небольших начальных возмущениях, когда нелинейные зависимости между сигналами в системе не оказывают существенного влияния на её поведение.