logo
лекции / osnovy_teorii_upravleniya

Критерии устойчивости Михайлова и Найквиста (частотные)

Частотные критерии устойчивости стационарных линейных систем были найдены Найквистом и Михайловым. Запишем характеристическое уравнение САУ при s = iс целью его рассмотрения в частотной области:

B(i) = bn (i)n + bn-1 (i)n-1+ ...+ bo = A () e i () = P() + i Q() = 0.

При изменении от 0 до, векторB(i)начинает описывать в комплексной плоскости кривую, которую называют кривой Михайлова:

Михайлов доказал что, для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой B(i)при=повернулся, нигде не обращаясь в 0, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (n)/2, гдеn- степень характеристического уравнения. Отметим, что в неустойчивых системах нарушается последовательность прохождения кривой Михайлова квадрантов комплексной.

В 1932 году Найквистом был опубликован критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике Z(j)разомкнутой системы, что позволило значительно упростить расчеты. Примем во внимание тот факт, что если система управления в разомкнутом состоянии неустойчива, то ее характеристическое уравнение имеетkкорней, лежащих в правой полуплоскостиs. Рассмотрим функцию

1+ Z(i) = 1 +.(2.1)

В числителе этой функции содержится характеристический полином замкнутой системы, в знаменателе – характеристический полином разомкнутой системы. Пусть степень полинома A(s) = a0 sm + a1 sm-1+ ...+ am

не выше степени nполиномаB(s)= b0 sn + b1 sn-1+ ...+ bn .Тогда степени числителя и знаменателя (2.1) одинаковы и равныn. В плоскостиs функция1+ Z(i) изображается вектором, начало которого находится в точке (-1,0), а конец расположен на амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы.

Для того, чтобы установившееся движение в замкнутой системе было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы при возрастании от0довектор1+ Z(i),скользящий своим концом по амплитудно – фазовой характеристике разомкнутой системы, повернулся вокруг точки (-1, j) в направлении по часовой стрелкеk/2раз, гдеk– число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Под правыми корнями здесь понимаются корни, расположенные в правой полуплоскости комплексной плоскостиs.

    1.