logo
ОНИ

Аппроксимация данных с использованием метода наименьших квадратов

ТЕМА 10. Изучаемые вопросы: Построение трендовых моделей при помощи диаграмм в среде MIKROSOFT EXCEL; Коэффициент достоверности аппроксимации R2

Аппроксимация данных функции методом наименьших квадратов

Цель: Построить кривые, аппроксимирующие с заданной точностью исходные данные, полученные в ходе экспериментального исследования.

 В качестве исходных данных имеем значения ежемесячного износа тормозных колодок автомобиля. Исходные данные представлены в виде, графика (рис. 32) состоящего из 10 результатов измерений износа (по месяцам).

Рис.32. График износа тормозных колодок автомобиля (по месяцам года)

Рассматриваемый процесс колебания ежемесячного износа тормозных колодок имеет моменты пиков и спадов. Это объясняется тем что, износ нестабилен по времени, так как зависят от пробега, климатических и дорожных условий и т.п., а значит, является случайной величиной. В связи с этим удобней будет работать с аппроксимированными параметрами модели.

Аппроксимацию выполним методом наименьших квадратов.

Пусть …,- последовательность линейно-независимых функций на [a,b]. Аппроксимирующую функциюбудем представлять в виде:

(56)

где с1,с2,…..,сn - неизвестные параметры функции .

Тогда, согласно методу наименьших квадратов, функционал J, имеющий смысл суммы квадратов отклонений аппроксимирующей функции от результатов измеренийв заданных точках запишется в виде:

(57)

и параметры с1,с2,…..,сn будем выбирать из условия минимума этого функционала, т.е.

, j=1,n. (58)

(59)

или

, j=1,n (60)

Последнее выражение можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров с1,с2,…..,сn .

(61)

или в матричной форме:

, (62)

где: A – симметрическая матрица порядка n; – n мерный вектор-столбец свободных членов;– n мерный вектор-столбец неизвестных параметров, которые можно представить в виде:

, (63)

, (64)

(65)

Таким образом, задача нахождения параметров аппроксимирующей функции (42) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (48). Это можно сделать двумя способами:

  1. либо искать решение системы (45);

  2. либо находить матрицу , обратную матрице A, тогда

(66)

В большинстве случаев (в зависимости от вида конкретных матриц) при аппроксимации удобно придерживаться второго пути. В качестве последовательности …,- взяты величины: (1,X, X2, …….Xn).