§3. Некоторые законы распределения отказов.

Отказы в работе технических устройств как случайные события могут иметь различные законы распределения во времени. Для исследования надежности устройств или при оценке вероятности появления различного числа неисправных изделий при выборочной прверке партии изделий практическое значение имеют следующие законы распределения отказов:

1. Экспоненциальный;

2. Нормальный;

3. Рэлея;

4. Гамма распределения;

5. Вейбулла;

6. Биноминальное распределение

7. Распределение Пуассона.

Все эти законы очень сложны и мы посмотрим из них только часть.

1.Экспоненциальный закон распределения отказов. Экспоненциальное убывание во времени надежности устройства может иметь место только при постоянстве интенсивности внезапных отказов на их λ.Форулы имеют следующий вид :

P(t) = ;Q (t) = 1–; Q (t) = λ*;T0 ==dt:

где λ – средняя постоянная величина интенсивности внезапных отказов устройства в долях единицы на один час работы.

t – время работы устройства в часах.

Эти зависимости пригодны для исследования электрических машин в целом, так и поэлементно.

Пример: Необходимо произвести приближенную оценку вероятности безотказной работы и среднюю наработку до первого отказа асинхронного двигателя для двух промежутков времени его работы t = 1000 ч и 3000ч, если интенсивность отказов λ = 20*.

Решение :

T0 = == 5*ч:

При P(t) = ;

P(1000) = == 0.98;

P(3000) = == 0.94.

Пример №2. Для системы автоматического управления известно λ = , время работыt = 50ч. Определить P(t),Q(t),a(t) – частота отказов, T0.

Решение:

P(50) = ===0,607

Q(50) – вероятность отказа;

Q (50) = 1– P(50) = 1– 0,67= 0,393

T0 = == 1004;

Q(50) = λ*= 0,01*= 0,00607.

2.Биноминальное распределение. Это распределение по своей форме описывает появление событий, имеющих два исхода, взаимно исключающих друг друга. Этими исходами в каких – то событиях могут быть – исправный или неисправный.

Если в партии из 100 изделий 90 годных и 10 бракованных, то вероятность появления тех и других выражается в виде 0,9 годных и 0,1 бракованных, сумма вероятностей равна 1.Если в совокупность одинаковых изделий входят доля q исправных доля p неисправных изделий, то

q + p = 1

Если из большой партии одинаковых изделий, содержаться р % неисправных , берется выборка в количестве n изделий, то вероятность появления различного числа неисправных изделий в этих выборках определяется коэффициентами членов биноминального разложения :

= 1

Где: p= – доля единицы неисправных изделий в партии.

q = – доля исправных или :

+n*p +++ ………….+=1

Первый член показывает отсутствие неисправных изделий в выборке объемом из n образцов.

Второй член n дает вероятность появления в выборке одного неисправного изделия.

Третий член вероятность появления в выборке двух неисправных изделий и т.д.

Последний же член определяет вероятность появление выборке n неисправных изделий.

Пример: Из большой партии сельсинов, содержащих р% =5 % неисправных образцов, берется для использования в объекте выборка из 4 – х. машин (n =4).Определить вероятность появления в выборке 0,1,2,3, или 4 неисправных сельсина.

p= = 0,05 доля единицы неисправных изделий в партии,q = 0,95.

При этом = 1.

Решение:

Вероятность появление в выборке 0 неисправных сельсинов

==0,8145

Вероятность появления в выборке 1 неисправного сельсина

n *p = 4**p = 4* 0,05 = 0,1715.

Вероятность появления в выборке двух несправных сельсин.

n! – эк. факториал, образует последовательность 1*2*3* ……….*n.

= = 6*=6*=0,0136.

Вероятность появление в выборке 3 – х неисправных сельсинов.

= 4*q = 4* (0,95)*= 0,0004.

Вероятность появления в выборке 4 – х неисправных сельсинов.

= = 0,00000625

В выборке из партии машин, состоящей из 4 – х сельсинов, вероятность отсутствия в ней неисправных образцов составляет 0,8145, а вероятность появления в этой выборке 4 – х неисправных сельсинов равна нулю.

= 1

q –исправные изделия

р – неисправные изделия

n – количество изделий.

p= ; q =

+n*p +++ ………….+=1

2! = 1,2.

3! = 1,2,3.

Лекция 2А Н2 ( надежность)

Тема: « Различные периоды работы технических устройств. Надежность систем из последовательно и параллельно соединенных элементов».

Различные периоды работы технических устройств.

При рассмотрении работоспособности любого технического устройства или изделия различают три периода его жизни.

а) Период приработки : в это время проявляется конструктивные и технологические отказы внезапного характера. Постепенные отказы практически отсутствуют за счет устранения дефектных элементов и мест некачественной сборки и по мере приработки деталей интенсивность отказов уменьшается и в конце периода снижается до некоторого наименьшего значения. Графически это выглядит следующим образом :

Изменение интенсивности внезапных отказов в период приработки ( участка 0 – t). Примерно описывается методом Вейбулла.

б) Период нормальной эксплуатации . На этом интервале внезапные конструктивно– технологические отказы продолжают уменьшаться, но одновременно возрастает доля постепенных отказов.

Изменение интенсивности постепенных отказов в период нормальной эксплуатации.( участок t1 – t2)

Участок нормальной эксплуатации обычно в десятки раз продолжительнее периода приработки.

На этом участке показатели надежности достаточно строго описываются экспоненциальным распределением случайных величин.

в) Период износа. В это время преобладают постепенные отказы из – за износа и старения электрооборудования. Интенсивность отказов постепенно растет, причем темпы роста трудно прогнозировать. На рисунке 2 это характеризуется участком t2 – t3. Для описания показателей надежности в большей мере подходят закономерности нормального распределения случайных величин.

Суммарный же график жизни устройства будет иметь вид :

λп – постепенные отказы.

λв–внезапные отказы.

λn– износовые отказы.

Описанная закономерность появления отказов позволяет сделать следующие выводы по организации рациональной эксплуатации электрооборудования. При приработке оборудованию необходим более тщательный надзор за каждым элементом и постоянный контроль за режимом работы.

В период нормальной эксплуатации нельзя нарушать периодичность обслуживания электрооборудования, т.к. это увеличивает интенсивность отказов и преждевременно наступит период износа. В начальный период износа электрооборудование должно быть направлено в капитальный ремонт или снято с эксплуатации.

Пример расчета надежности электродвигателей в эти периоды работы можно найти в книге Ермолин Н.Л., Жерихин Н.Г. « Надежность электрических машин» , Л. Энергия, 1976 г.