Передаточная функция

Обыкновенная линейная система автоматического управления описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением

Умножим обе части уравнения на е ^{– pt}и выполним интегрирование в пределах от 0 до:

В результате этих преобразований левая и правая части уравнения представляют собой выражения для преобразования Лапласа. Осуществим преобразование Лапласа, используя его свойства:

.

Полагая, что система находится при нулевых начальных условиях y (0) = 0, y '(0) = y '' (0) = ... = 0, вычислим изображения производных и получим

.

Полученное уравнение является алгебраическим уравнением и его можно решить относительно изображения выходной величины:

.

Передаточной функциейэлемента (или системы) автоматического управления называется отношение Лапласовых изображений выходной и входной величин

При нахождении передаточной функции подразумевается, что элемент (или система) находится при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией от независимой переменной р. Передаточная функция легко получается из исходного дифференциального уравнения формальной подстановкой вместо производных символарв соответствующей степени.

При р= 0 передаточная функция вырождается в коэффициент передачи. Обычно для передаточной функцииm < n.

При известной передаточной функции процесс в системе определяется следующим образом:

и.

Корни числителя передаточной функции называются нулями передаточной функции, корни знаменателя передаточной функции – полюсами. В общем случае передаточная функция имеет m нулей иnполюсов. Нули и полюса могут быть комплексными.