2.3.7 Критерій Гурвіця.

В 1895 році Гурвіц знайшов свій алгебраїчний критерій стійкості.

Для того, щоб всі корені характеристичного рівняння були ліві, тобто мали від'ємні дійсні частини, необхідно і достатньо, щоб всі визначники Гурвіца були б одного знаку.

Хай характеристичне рівняння замкненої системи має вигляд

Головний визначник Гурвіца має розмірність , перший рядок якого заповнюється коефіцієнтами з непарними індексами, починаючи з , коефіцієнти з від'ємними індексами заповнюються нулями. Униз від елементів першого рядка стовпці визначника заповнюються коефіцієнтами з індексами, які кожний раз зростають на одиницю, нижче системи заповнюються нулями

(2.84)

Визначаючи у цьому головному визначнику його діагональні мінори, отримують визначники нижчого порядку.

Для стійкості слід визначити знаки визначників Гурвіца ,бо знак головного визначника залежить від знаку попереднього визначника та коефіцієнту

Увага! Перед обчисленням визначників Гурвіца слід звернути увагу на виконання необхідних умов стійкості, тобто всі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути додатні.

Наслідки:

1. Для рівнянь 1-го та 2-го порядків необхідні умови стають і достатніми, тобто якщо всі коефіцієнти таких рівнянь більші нуля , то корені характеристичних рівнянь мають від'ємну дійсну частину, а система є стійкою

2. Для рівняння 3-го порядку неoбхідно і достатньо ,щоб всі коефіцієнти були б більші нуля та виконувалась умова

(2.85)

тобто добуток середніх коефіцієнтів більший, ніж добуток зовнішніх.

Як було вже встановлено, для зменшення похибки у сталому режимі необхідно збільшувати коефіцієнт підсилювання системи, значення якого зосереджується у вільному коефіцієнті характеристичного рівняння замкненої системи. Необачне збільшення чього коефіцієнту може порушити умови стійкості системи. Тому для кожної системи можуть бути визначені критичні коефіцієнти підсилювання.

Якщо характеристичне рівняння замкненої системи має вигляд:

,

то для стійкої системи виконується .

Якщо , то ці умови визначають межу стійкості, а значення a₀ ,буде критичним.

Отже,

(2.86)

Якщо через визначити , то співвідношення визначає коефіцієнт запасу стійкості за підсилюванням: . Вважається, що для нормальної роботи системи повинен бути забезпечений запас стійкості у (15-20)дб.