8.2.1 Основные понятия случайного процесса в системе массового обслуживания

Система массового обслуживания (СМО) состоит из какого-либо числа обслуживающих единиц (например, числа каналов связи). Работа любой СМО состоит в выполнении поступающего на нее потока требований (заявок). Заявки поступают на систему в случайные и не случайные моменты времени. Обслуживание каждой поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается. В зависимости от числа каналов СМО обладает пропускной способностью, которая позволяет более или менее справляться с потоком заявок. Различают:

• абсолютную пропускную способность – число заявок, которое система может обслужить в единицу времени;

• относительную пропускную способность – среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных.

В большинстве случаев моменты поступления заявок, а также длительность их обслуживания случайны. В связи с этим в потоке заявок могут образовываться так называемые сгущения и разряжения. Сгущения могут приводить либо к отказам в обслуживании, либо к образованию очередей. Разряжения могут приводить непроизводительным простоям отдельных каналов или системы в целом. Таким образом, процесс функционирования СМО представляет собой случайный процесс.

Случайный процесс, протекающий в СМО, состоит в том, что система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов, число заявок в очереди и т. п. СМО представляет собой физическую систему дискретного типа с конечным (счетным) множеством состояний, а переход системы из одного состояния в другое происходит скачком в тот момент, когда происходит какое-то новое событие (поступление новой заявки, уход заявки из очереди и т. п.).

Рассмотрим физическую систему Х со счетным множеством состояний 1:

х_1,х_2, . . .х_n, . . .

В любой момент времени tсистема Х может находится в одном из этих состояний. Обозначим р_k(t) (k=1, 2, . . .n, . . .) вероятность того, что в момент времениtсистема будет находится в состоянии х_k. Для такого случая будет справедливо равенство:

(8.1)

Совокупность вероятностей р_k(t) для каждого момента времениtхарактеризует данное сечение случайного процесса, протекающего в системе. Случайные процессы в дискретной системе со счетным множеством состояний бывают двух типов: с дискретным и непрерывным временем. Для случайных процессовс дискретным временем переходы из одного состояния в другое могут происходить только в строго определенные, заранее известные моментыt₁,t₂, . . . Для случайных процессовс непрерывным временемсмена состояния системы возможна в любой момент времениt. Случайные процессы протекающие в СМО, как правило, представляют собой процессы с непрерывным временем.

В качестве примера рассмотрим одноканальную СМО (одна телефонная линия), в которой заявка, заставшая канал занятым, не становится в очередь, а покидает систему (получает отказ). Эта система с непрерывным временем и двумя возможными состояниями: х₀ – канал свободен, х₁ – канал занят. Переходы из одного состояния в другое обратимы. Дляn-канальной системы имеются следующие состояния: х₀ – все каналы свободны; х₁ – один канал занят; х₂ – занято два канала и т. д. На рисунке 8.1 показаны схемы возможных переходов.

Рисунок 8.1 – Переходы состояний для одноканальной и n-канальной систем

Другим примером дискретной системы с непрерывным временем является одноканальная СМО с четырьмя состояниями: х₀ – канал исправен и свободен; х₁ –канал исправен и занят; х₂ – канал неисправен и ждет ремонта; х₃ – канал неисправен и ремонтируется. Схема возможных переходов для этого случае показана на рисунке 8.2.

Рисунок 8.2 – Переходы для одноканальной системы с ремонтом

Для СМО основным фактором, обуславливающим протекающие в ней процессы, является поток заявок (вызовов). Поэтому математическое описание любой СМО начинается с описания потоков вызовов.